热门试卷

（Ⅰ）证明：取AD中点E，连结ME，NE，

由已知得M，N分别是PA，BC的中点，

∴ME∥PD，NE∥CD，

又ME，NE⊂平面MNE，ME∩NE=E，

∴平面MNE∥平面PCD．

（2）证明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，

∴AC⊥平面PBD，

∴平面PAC⊥平面PBD．

（3）解：PD⊥平面ABCD，∴PD为三棱锥P-ABC的高，

∵底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，

M，N分别为PA，BC的中点，且PD=AD=2．

∴三棱锥P-ABC的体积V==．

证明：（1）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．因为F是BB1的中点，

所以，F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，

故MF∥AN．又MF不在平面ABCD内，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．

（2）证明：连BD，由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 ，

可知A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD．

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A=A，

AC，A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．

在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形，

故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1，又因为NA⊂平面AFC1，

∴平面AFC1⊥ACC1A1．

（3）由（2）知BD⊥ACC1A1，又AC1⊂ACC1A1，

∴BD⊥AC1，∴BD∥NA，∴AC1⊥NA． 又由BD⊥AC可知NA⊥AC，

∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角．

在Rt△C1AC中，tan∠CAC1==，故∠C1AC=30°，

∴平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°．

证明：（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，因为D，E分别是BC，B1C1的中点，

可知BD∥EC1，BD=EC1，则EBDC1为平行四边形，

故EB∥DC1，

∵EB⊄平面AC1D，DC1⊂平面AC1D，

∴EB∥平面AC1D

又AA1∥BB1∥ED，AA1=BB1=ED

∴AA1DE为平行四边形

∴A1E∥AD，

∵A1E⊄平面AC1D，AD⊂平面AC1D，

∴A1E∥平面AC1D，

又EB∩A1E=E，EB，A1E⊂平面A1EB

∴平面A1EB∥平面AC1D…（7分）

（2）∵D是BC的中点，且AB=AC

∴AD⊥BC，又面ABC⊥面B1BCC1，面ABC∩面面B1BCC1=BC

∴AD⊥面面B1BCC1，从而AD⊥DM，AD⊥DC1

∴∠MDC1为二面角M-AD-C1的平面角

设正三棱柱的棱长为1，可求DM=，DC1=，MC1=

有DM2+DC12=CC12，

∴∠MDC1为=

∴平面平面AMD⊥平面AC1D．…（14分）

（Ⅰ）证明：取PC的中点为O，连FO，DO，

∵F，O分别为BP，PC的中点，∴FO∥BC，且，

又ABCD为平行四边形，ED∥BC，且，

∴FO∥ED，且FO=ED

∴四边形EFOD是平行四边形---------------------------------------------（2分）

即EF∥DO   

又EF⊄平面PDC，

∴EF∥平面PDC．---------------------------------------------（4分）

（Ⅱ）证明：若∠CDP=90°，则PD⊥DC，

又AD⊥平面PDC，DP⊂平面PDC，∴AD⊥DP，

∵AD∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD，---------------------------------（6分）

∵BE⊂平面ABCD，

∴BE⊥DP--------------------------------（8分）

（Ⅲ）解：连接AC，由ABCD为平行四边形可知△ABC与△ADC面积相等，

所以三棱锥P-ADC与三棱锥P-ABC体积相等，即五面体的体积为三棱锥P-ADC体积的二倍．

∵AD⊥平面PDC，DP⊂平面PDC，∴AD⊥DP，

由AD=3，AP=5，可得DP=4

又∠CDP=120°，PC=2，由余弦定理并整理得DC2+4DC-12=0，解得DC=2--------------------------（10分）

∴三棱锥P-ADC的体积

∴该五面体的体积为-----------------------------（12分）

解：（Ⅰ）证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF=AB．∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，∴四边形ABFD为正方形．

∵O为BD的中点，∴O为AF，BD的交点，∵PD=PB=2，∴PO⊥BD，…..（2分）

∵=，∴=，，

在三角形PAO中，PO2+AO2=PA2=4，∴PO⊥AO，…（4分）∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．    …（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，所以过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：

由已知得：A（-1，-1，0），B（-1，1，0），D（1，-1，0）F（1，1，0），C（1，3，0），

，．

则，，，．

∴，∴OE∥PF，∵OE⊄平面PDC，PF⊂平面PDC，∴OE∥平面PDC．   …（9分）

（Ⅲ） 设平面PDC的法向量为，直线CB与平面PDC所成角θ，

则，即，解得，令z1=1，

则平面PDC的一个法向量为，又，

则，∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为．…（14分）

证明：（1）设N是OA的中点，连接MN，NB，

因为M是OD的中点，

所以MN∥AD，且2MN=AD，

又AD∥BC，AD=2BC，

所以MNBC是平行四边形，

所以MC∥NB，

又MC 不在平面OAB上，NB⊂平面OAB，

所以直线MC∥平面OAB；（7分）

（2）设H是BD的中点，连接AH，

因为AB=AD，所以AH⊥BD，

又因为OB=OD，所以OH⊥BD

所以BD⊥面OAH

所以BD⊥OA、（14分）

解：（I）连接BF，由题意可得BC和EF平行且相等，故四边形BCEF为平行四边形，故有CE∥BF．

再根据BF⊂平面ABGF，CE不在平面ABGF 内，可得CE∥平面ABGF．

（Ⅱ）设点B到平面CEG的距离为h．

由（Ⅰ）知：BF∥CE，可得BF∥平面CEG，

故点B到平面CEG的距离等于点F到平面CEG的距离，

所以VB-CEG=VF-CEG=VC-EFG =×S△CEG×h=×S△EFG×FA．

依题意，在△CGE中，CG=，CE=2，GE=，

因为CG2+GE2=CE2，所以S△CEG=CG×GE=．

在Rt△EFG中，S△EFG=，又FA=2，∴由 ×S△CEG×h=×S△EFG×FA，可得 ××h=××2，

由此求得点B到平面CEG的距离为h=．

证明：（1）取A1B中点N，连接NE，NM，

则MN，EF，所以MNFE，

所以四边形MNEF为平行四边形，所以FM∥EN，（4分）

又因为FM⊄平面A1EB，EN⊂平面A1EB，

所以直线FM∥平面A1EB．（7分）

（2）因为E，F分别AB和AC的中点，

所以A1F=FC，所以FM⊥A1C（9分）

同理，EN⊥A1B，

由（1）知，FM∥EN，所以FM⊥A1B

又因为A1C∩A1B=A1，所以FM⊥平面A1BC，（12分）

又因为FM⊂平面A1FC

所以平面A1FC⊥平面A1BC．（14分）