热门试卷

证明：（1）如图一，连接AC1与A1C交于点K，连接DK．

在△ABC1中，D、K为中点，∴DK∥BC1、（4分）

又DK⊂平面DCA1，BC1⊄平面DCA1，∴BC1∥平面DCA1、（6分）

图一　　　　　　　　　图二　　　　　　　　图三

（2）证明：（方法一）如图二，∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB、

又CD⊥DA1，AB∩DA1=D，∴CD⊥平面ABB1A1、（8分）

取A1B1的中点E，又D为AB的中点，∴DE、BB1、CC1平行且相等，

∴DCC1E是平行四边形，∴C1E、CD平行且相等．

又CD⊥平面ABB1A1，∴C1E⊥平面ABB1A1，∴∠EBC1即所求角、（10分）

由前面证明知CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，

又AB⊥BB1，AB∩CD=D，∴BB1⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱．

设AC=BC=BB1=2，∴BC1=2，EC1=，∠EBC1=30°、（12分）

（方法二）如图三，∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB、

又CD⊥DA1，AB∩DA1=D，∴CD⊥平面ABB1A1、（8分）

取DA1的中点F，则KF∥CD，∴KF⊥平面ABB1A1．

∴∠KDF即BC1与平面ABB1A1所成的角．（10分）

由前面证明知CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，

又AB⊥BB1，AB∩CD=D，∴BB1⊥平面ABC，∴此三棱柱为直棱柱．

设AC=BC=BB1=2，∴KF=，DK=，∴∠KDF=30°、（12分）

（1）证明：设AC与BD交与点O．

∵EF∥AO，且EF=1，AO=AC=1．

∴四边形AOEF为平行四边形，

∴AF∥EO，

∵EO⊂面BDE，AF⊄面BDE，∴AF∥面BDE．…（3分）

（2）证明：∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，∴CE⊥面ABCD，

连接FO，∵正方形ABCD的边长为，∴AC=BD=2；

直角梯形ACEF中，FO∥EC，且FO=1，DF=BF=，DE=BE=，则BF⊥EF，

由BF=DF=，BD=2可知BF⊥DF，

∵EF∩DF=F

∴BF⊥平面DEF；…（7分）

（3）取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN，

∵AB=BF=AF=，∴AM⊥BF，

又∵MN∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，

∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角．

AM=AB=，MN=EF=；

在Rt△APN中，可得AN2=AP2+NP2=，

∴在△AMN中，可得cos∠AMN==-，…（12分）

（1）设BD与AC交于O，作OK⊥AA1于K，连接DK，则DK⊥AA1，OD⊥OK，

故∠DKO为二面角D-A1A-C的平面角，

∵∠OAK=60°，∴OK=

在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°

∴AC=AB=BC=2

∴AO=1，DO==

∴tan∠DKO=2，

∴二面角D-A1A-C的平面角的余弦值是

∴二面角D-A1A-C的大小为arccos；

（2）连结A1O、A1B，由于B1B∥平面A1A DD1，所以B、B1到平面A1A DD1的距离相等，

设点B到平面A1A DD1的距离等于h．

在△AA1O中，A1O2=A1A2+AO2-2A1A•AOcos60°=3

∴A1O2+AO2=A1A2

∴A1O⊥AO

而平面A A1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥平面ABCD

由上述第（1）问有，ED⊥A1A1且ED==

∴S△A1DA=A1A•ED=×2×=

又S△ABD=AO•BD=×1×2=

由VB-A1DA=VA1-ABD有S△A1DA•h=S△ABD•A1O

∴h=•A1O=×=

即点B1到平面A1ADD1的距离d=

（3）存在，点P在C1C的延长线上且CP=C1C，证明如下：

延长C1C到P使CP=C1C，连接B1C，BP，则BP∥B1C

∴BP∥A1D

又A1D 平面⊂DA1C1，BP⊄平面DA1C1，

∴BP∥平面DA1C1．

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AC在平面ABCD内，∴AC⊥PA

又AC⊥AB，PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB（2分）

又PB在平面PAB内，∴AC⊥PB（4分）

（2）证明：连结BD，与AC相交于O，连结EO

∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点（5分）

又E为PD中点，∴PB∥EO（6分）

又PB在平面AEC外，EO在AEC平面内，∴PB∥平面AEC（8分）

（3）过O作FG∥AB，交AD于F，交BC于G，则F为AD中点

∵AB⊥AC，∴OG⊥AC

又由 （1）（2）知，AC⊥PB，EO∥PB，

∴AC⊥EO（10分）

∴∠EOG是二面角E-AC-B的平面角

连结EF，在△EFO中，FO=AB

又PA=AB，EF⊥FO，∴∠EOF=45°

∴∠EOG=135°，即二面角E-AC-B的大小为135°．（12分）

证明: （1）连结AC，H是线段AC的中点，

又F为线段EA的中点，

所以FH // CE，

又FH不在平面CDE内，CE平面CDE，

所以FH // 平面CDE.

（2）在平面ABE内，过F作AB的垂线交AB于M，连结MH，

平面ABCD⊥平面AEB，FM⊥AB，

所以FM⊥平面ABCD，

∠FHM就是直线FH与平面ABCD所成的角θ， ；

过H作AB的垂线交AB于N，设，，

则，，，

所以

当时，取得最大值，有最小值，

又， 得.

所以tanθ的最小值是.

（Ⅰ）连接A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，

∵D为A1C1的中点，

∴DE为△A1BC1的中位线，

∴BC1∥DE．

又DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，

∴BC1∥平面AB1D

（Ⅱ）过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱柱的性质可知，DF⊥平面AB1，连接EF，DE，在正△A1B1C1中，

∴B1D=A1B1=a，

在直角三角形AA1D中，

∵AD==a，

∴AD=B1D．

∴DE⊥AB1，

由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB1．则∠DEF为二面角A1-AB1-D的平面角，又得DF=a，

∵△B1FE∽△B1AA1，

∴=⇒EF=a

∴∠DEF=．

故所求二面角A1-AB1-D的大小为．

法一：

（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．

连接AG，FGCD，又CDAB，

故FGAE，AEFG为平行四边形．EF∥AG，又AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．

所以EF∥平面SAD．

（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等

腰直角三角形．

取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．

又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，

所以DH⊥面AEF．

取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．

连接DM，则DM⊥EF．

故∠DMH为二面角A-EF-D的平面角tan∠DMH===．

所以二面角A-EF-D的大小为arctan．

法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D-xyz．

设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），E(a，，0)，F(0，，)，=(-a，0，)．

取SD的中点G(0，0，)，则=(-a，0，)．=，EF∥AG，AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD，

所以EF∥平面SAD．

（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），E(1，，0)，F(0，，1)．EF中点M(，，)，=(-，-，-)，=(-1，0，1)，•=0，MD⊥EF

又=(0，-，0)，•=0，EA⊥EF，

所以向量和的夹角等于二面角A-EF-D的平面角．cos＜，＞==．

所以二面角A-EF-D的大小为arccos．

（1）证明：如图，

取PA的中点E，连接DE，EN，

∵点N是PB的中点，∴EN∥AB，EN=AB．

∵点M是CD的中点，底面ABCD是正方形，

∴DM∥AB，DM=AB．

∴EN∥DM，EN=DM．

∴四边形EDMN是平行四边形．

∴MN∥DE．

∵DE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

∴MN∥面PAD；

（2）取AB中点G，连结NG，则NG∥PA，PA⊥面ABCD，

∴NG⊥面ABCD．

∵AM⊂面ABCD，

∴NG⊥AM．

过G作GF⊥AM，垂足为F，连接NF，

∵NG∩GF=G，NG⊂面NGF，GF⊂面NGF，

∴AM⊥面NGF．

∵NF⊂面NGF，

∴AM⊥NF．

∴∠NFG是二面角N-AM-B的平面角．

在Rt△NGM中，MN=5，MG=AD=3，得NG===4，

在Rt△MGA中，AG=，得AM===，

GF===．

在Rt△NGF中，NF===，

∴cos∠NFG===．

∴二面角N-AM-B的余弦值为．

（1）过点E作EG⊥CF交CF于G，连接DG，

可得四边形BCGE为矩形，

又四边形ABCD为矩形，所以AD=EG，

从而四边形ADGE为平行四边形

故AE∥DG

因为AE⊄平面DCF，DG⊂平面DCF，

所以AE∥平面DCF

（2）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH，BH．

由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，

从而AH⊥EF．所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角

在Rt△EFG中，因为EG=AD=，EF=2．

∴∠GFE=60°，FG=1．又因为∴∠GEF=90°，

所以CF=4，从而BE=CG=3．于是BH=BE•sin∠BEH=．

在RT△AHB中，AB=，则tanAHB==，

因为0°＜∠AHB＜180°，

所以∠AHB=60°，所以二面角A-EF-C的大小为60°．