热门试卷

解：过E向平面AC1作垂线，∵截面A1EC⊥侧面AC1，截面A1EC∩侧面AC1=A1C

∴垂足必落在A1C上，设为D，则ED⊥平面AC1，

∵F是AC的中点，三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱锥，

∴BF⊥AC，BF⊥AA1，∴BF⊥平面AC1，

∴BF∥ED，

∵ED⊂平面A1EC．BF⊄平面A1EC．

∴BF∥平面A1EC．

解：（I）如图建立空间直角坐标系，取BD的中点O，

连接EO．

A1（0，0，4），C（3，3，0），

E（0，0，2），O（（2分）

，

∵，∴A1C∥EO．

∵EO⊂平面BED，A1C⊄平面BED，

∴A1C∥平面BED．（5分）

（II）由于AE⊥平面ABCD，

则就是平面ABCD的法向量．（6分）

B（3，0，0），D（0，3，0），

设平面EBD的法向量为．

由得

令z=3，则．（7分）

．

∴二面角E-BD-A的大小为arrccos．（9分）

（III）D1（0，3，4），则，

设平面A1BCD1的法向量为．

即

解得令z‘=3，则=（-4，0，-3）．

即点E到平面A1BCD1的距离是．

又．（14分）

证明：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=O，连接EO，

∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点．

∴OE为△PAC的中位线．

∴PA∥OE，而OE⊂平面EDB，PA⊄平面EBD，

∴PA∥平面EDB．…（6分）

（Ⅱ）∵AD∥BC，∴∠CBE就是异面直线AD与BE所成的角或补角．…（8分）

∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PD．

又四边形ABCD为矩形，∴BC⊥DC．又因为PD∩DC=D，

所以BC⊥平面PDC．

在Rt△BCE中BC=，EC═，∴．

即异面直线AD 与BE所成角大小为．                    …（12分）

解：∵E、H分别为AB、AD的中点，

∴△ABD中，EH是中位线，可得EHBD，

∵BD∥EH，BD⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，

∴EH∥平面BCD．

证明：（1）F为BD的中点，连接AF、EF，由题意，BD⊥AF，BD⊥CF，AF∩CF=F，∴BD⊥面AFC，AC⊂面AFC，∴BD⊥AC，

∵平面ABD⊥平面CBD，CF⊥BD，∴CF⊥面ABD，由题意，AF=CF=，又∵AE⊥平面ABD，AE=，∴正方形AFCE，∴AC⊥EF，EF⊂面BDE，BD⊂面BDE，EF∩BD=F，∴AC⊥面BDE；

（2）M为BE中点，F为BD中点，∴MF∥DE，又由（1）知，正方形AFCE，∴CF∥AE，MF、CF⊂面MFC，MF∩CF=F，AE、ED⊂面ADE，AE∩ED=E，∴面MFC∥面ADE，CM⊂面MFC，CM∥平面ADE．

证明：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

又底面ABCD为矩形，

∴AB⊥AD

∴AB⊥平面PAD，

又PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD；

（2）AC与BD的交点E，连结ME，

∵底面ABCD为矩形，

∴E为AC的中点，

又M是AC的中点，

∴ME∥PA，

又PA⊄平面BDM，ME⊂平面BDM，

∴PA∥平面BDM．

解：

（Ⅰ）证明：∵E，F分别是AB，PB的中点，∴EF∥AP．

又∵EF⊄平面PAD，AP⊂平面PAD，

∴EF∥平面PAD．（4分）

（Ⅱ）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD⊥CD．

又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD，且AD∩PD=D．∴CD⊥平面PAD，

又∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA．又∵EF∥PA，∴EF⊥CD．（8分）

（Ⅲ）解：G是AD的中点时，GF⊥平面PCB．证明如下：（9分）

取PC中点H，连接DH，HF．

∵PD=DC，∴DH⊥PC．

又∵BC⊥平面PDC，∴BC⊥DH，∴DH⊥平面PCB．∵HFBCDG，

∴四边形DGFH为平行四边形，∴DH∥GF，∴GF⊥平面PCB．（14分）

（1）证明：∵E，F分别是线段PA、PD的中点，

∴EF∥AD．…（2分）

又∵ABCD为正方形，

∴BC∥AD，

∴BC∥EF．…（4分）

又∵BC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，

∴BC∥平面EFG         …（6分）

（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，

∴CD⊥平面PAD，即GD⊥平面AEF．…（8分）

又∵EF∥AD，PA⊥AD，

∴EF⊥AE．…（10分）

又∵AE=EF==1，GD==1，．

∴×GD=．…（12分）

解：（1）证明：连接AC，AC交BD于O．连接EO．

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．

∴在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO，

∵EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，

∴PA∥平面EDB．

（2）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC．

∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，

∴BC⊥平面PDC．∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．

又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．

∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，

∴PB⊥平面EFD．