热门试卷

解：（1）记BD中点为O，连OE，

由O，E分别为AC，CP中点，

∴OE∥PA

又OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，

∴PA∥平面EDB．（5分）

（2）由PD⊥平面ABCD∴PD⊥BC又CD⊥BC，

∴BC⊥平面PCD，DE⊥BC．（8分）

由PD=DC，E为P中点，故DE⊥PC．

∴DE⊥平面PBC（10分）

解：法一

（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴PA⊥BC，∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．

又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC；（4分）

（2）∵AB∥CD，∴∠DAB=120°

．∠ADC=60°，又AD=CD=1，∴△ADC为等边三角形，且AC=1．

取AC的中点O，则DO⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥DO，

∴DO⊥平面PAC过O作OH⊥PC，垂足为H，连DH，

由三垂线定理知DH⊥PC．∴∠DHO为二面角D-PC-A的平面角．

由．

∴，∴∠DHO=arctan2．

∴二面角D-PC-A的大小为arctan2；（9分）

（3）设点B到平面PCD的距离的距离为d．

∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD．

∴点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离．（11分）

∵VA-PCD=VP-ACD，∴（13分）

∴．（14分）

解法二

（1）同解法一；（4分）

（2）取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB．

又PA⊥底面ABCD，AE⊂面ABCD，∴PA⊥AE，（5分）

建立空间直角坐标系，如图．则

，，（7分）

设n1=（x1，y1，z1）为平面PAC的一个法向量，

n2=（x2，y2，z2）为平面PDC的一个法向量，

则，

可取；

可取．（9分）

∴（10分）

=．

故所求二面角的大小为．（11分）

（3）又（7）．（12分）

由（Ⅱ）取平面PCD的一个法向量，

∴点B到平面PCD的距离的距离为． （13分）

=．（14分）

证明：（1）设PD的中点为E，连AE，NE，

则易得四边形AMNE是平行四边形

则MN∥AE，MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD

所以MN∥平面PAD

（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD

∴PA⊥CD

又AD⊥CD，PA∩DA=A

∴CD⊥平面PAD

∵AE⊂平面PAD

∴CD⊥AE

∵MN∥AE

∴MN⊥DC

解：（1）E，F为△AB，AC中点，∴GE∥BC．

∵B1C1∥BC，∴B1C1∥GE，

∵GE⊂平面GEF，B1C1∉平面GEF，

∴B1C1∥平面EFG  

（2）∵B1C1∥平面EFG，∴C1与B1到平面EFG的距离相等．  

∴

∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥C1C1，A1C1∩C1C=C1

∴B1C1⊥平面C1CA1

∵B1C∥GE∴GE⊥平面C1EF

∵，

∴

（1）证明：连结AN并延长和BC交于E点，由PM：MA=BN：ND=5：8，可得EN：NA=BN：ND=MP：MA=5：8，

即 =，∴MN∥PE，而MN⊄平面PBC，PE⊂面PBC，

∴MN∥平面PBC．

（2）解：由于△PBC是边长为13的等边三角形，

余弦定理求得PE2=PB2+BE2-2PB•EBcos60°=132+-2×13××=，

∴PE=．

由于△AMN 与△APE的相似比为，∴MN=PE=7．

证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的点，

且AD∥平面CEF，AD⊂面ABD，面ABD∩面CEF=EF

∴EF∥AD

（2）∵EF∥AD，AD⊥BD

∴BD⊥EF，

又∵BD⊥CF，EF∩CF=F，EF，CF⊂面EFC

∴BD⊥面EFC

解：（I）分别取AD、AF的中点G、H，连接GH、MG、NH

∵△ACD中，MG是中位线，∴MG∥CD且MG=CD

同理可得：HN∥AB且HN=AB

∵AB∥CD且AB=CD，

∴HN∥MG且HN=MG，可得四边形MNHG是平行四边形

∴MN∥GH

∵GH⊆平面ADF，MN⊈平面ADF，

∴MN∥平面ADF；

（II）分别过点M、N作ML⊥AB，NK⊥AB，垂足分别是L、K

∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，NK⊆平面ABEF，NK⊥AB

∴NK⊥平面ABCD

∵Rt△AML中，∠MAL=∠ABC=60°，AM=a，∴ML=asin60°=a

∵Rt△NKB中，∠NBK=45°，NB=2-a，∴NK=2-a

因此，四面体AMNB的体积为

V=S△ABM•NK=（×2×a）（2-a）=a-a2=-（a-）2+（0≤a≤2）

∴当且仅当a=时，四面体AMNB的体积最大值为．

所以，当四面体AMNB的体积最大时，实数a的值为．

解：（I）∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1是平行四边形

∴A1B1∥AB

又∵A1B1⊈平面ABD，AB⊆平面ABD，

∴A1B1∥平面ABD；

（II）取AB中点F，连接EF、CF

∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，

∴侧面AA1B1B是矩形

∵E、F分别是A1B1、AB的中点，∴EF∥AA1，

∵AA1⊥平面ABC，AB⊆平面ABC，∴AA1⊥AB，可得EF⊥AB，

∵正△ABC中，CF是中线，∴CF⊥AB

∵EF∩CF=F，∴AB⊥平面CEF

∵CE⊆平面CEF，∴AB⊥CE；

（III）∵正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都为2

∴三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=×22×2=2

又∵三棱锥E-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1同底等高

∴三棱锥E-ABC的体积VE-ABC=VABC-A1B1C1=

因此三棱锥C-ABE的体积VC-ABE=VE-ABC=．