抛物线及其性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 15 分

19.（本题满分15分）如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.

（I）求p的值；

（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离.

由抛物线的第一得，即p=2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为，可设.

因为AF不垂直于y轴，可设直线AF:x=sy+1,,由消去x得

，故，所以.

又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，

从而的直线FN:，直线BN:，

所以，

设M(m,0),由A,M,N三点共线得：，

于是，经检验，m<0或m>2满足题意.

综上，点M的横坐标的取值范围是.

知识点

抛物线的定义及应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=( )

A

B1

C

D2

正确答案

D

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

抛物线y2=4x的焦点坐标是( )

A(0,2)

B(0,1)

C(2,0)

D(1,0)

正确答案

D

知识点

抛物线的定义及应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.设抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A,B两点，M为抛物线C的准线与轴的交点，若，则（）

A4

B8

C

D10

正确答案

D

解析

根据，可求出直线的斜率为1，所以可设，代入中，可求出A，B的坐标，然后根据两点间距离公式求解，最后AB的长度为10，所以选D.

考查方向

圆锥曲线的定义、性质与方程

解题思路

根据直线的斜率设出A点的坐标，然后代入到抛物线方程中，联立求解

易错点

计算能力弱

知识点

抛物线的定义及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

如图，已知抛物线，圆，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.

注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.

20.求点A，B的坐标；

21.求△PAB的面积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；；

解析

试题分析：（1）利用点斜式方程，直线与抛物线相切，求出点A坐标；利用点关于直线对称点的求法得到点B的坐标；由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y＝k(x﹣t)(k≠0)，联立，可得，

∵，解得k＝t，

∴x=2t，∴．

圆的圆心D（0，1），设B，由题意可知：点B与O关于直线PD对称，

∴，解得．

∴．

考查方向

本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．

解题思路

由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），与抛物线方程联立，利用△=0，解得k=t，可得A坐标．圆的圆心D（0，1），设B，由题意可知：点B与O关于直线PD对称，解得B坐标．

易错点

点关于直线对称点的计算，直线与圆锥曲线方程联立的计算.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

利用两点间距离公式公式和点到直线的距离公式求出三角形的底边长和高，求出三角形面积。

由（1）可得：，直线AB的方程为：，整理可得（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，

∴点P到直线AB的距离，

又．

∴．

考查方向

本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．

解题思路

由（1）可得AB方程：，可得点P到直线AB的距离d，又．即可得出△PAB的面积。

易错点

点关于直线对称点的计算，直线与圆锥曲线方程联立的计算.

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15.已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点，点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为．

正确答案

解析

根据抛物线的定义到y轴的距离等于到焦点的距离减去1，所以m+1+n的最小值就等于焦点到直线的距离d，所以可以解得则的最小值为。

考查方向

圆锥曲线的问题。

解题思路

本题考查数形结合思想来解答，画出示意图，然后求出最值。

易错点

不会想到抛物线的定义来解答。

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9. 若点P在抛物线上，点Q（0,3），则|PQ|的最小值是( )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由已知条件，利用两点间的距离公式，求出|PQ|，

因为点P是抛物线上的动点，

设p，所以点Q（3,0），

所以

即，

所以当时，有最小值，

最小值为

考查方向

抛物线的几何性质，两点间的距离公式

解题思路

利用两点间的距离公式，先表示出来PQ的值，然后进行化简变形，根据抛物线的性质，综合求得最值。

易错点

表示PQ长时错误，计算能力弱

知识点

抛物线的定义及应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为

A5

B4

C

D

正确答案

A

解析

依题意可知抛物线的准线方程为，

∴点A到准线的距离为4+1=5，

根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，

∴点A与抛物线焦点的距离为5，

故选A.

考查方向

本题主要考查了抛物线的定义的运用．考查了学生对抛物线基础知识的掌握．属基础题．

解题思路

先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点A的纵坐标求得点A到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案．

易错点

圆锥曲线的定义要熟练的掌握并学会灵活应用.

知识点

抛物线的定义及应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15.已知抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点，且这两条曲线交点的连线过点，则该椭圆的离心率为______.

正确答案

解析

根据题意可知，,且，因此抛物线和椭圆都是关于x对称，所以两个图象的焦点也关于x轴对称，由椭圆的通径公式可得，两个图象的交点为,代入抛物线方程得，化简得,解得

考查方向

抛物线的几何性质

椭圆的几何性质

解题思路

根据抛物线和椭圆对称，建立等量关系，求得参数的值，进而求出椭圆的离心率

易错点

计算能力弱，对圆锥曲线的性质掌握不牢

知识点

椭圆的定义及标准方程抛物线的定义及应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.已知双曲线：，的左焦点在抛物线：的准线上，则双曲线的离心率为

A

B

C

D

正确答案

C

知识点

双曲线的几何性质抛物线的定义及应用

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