抛物线及其性质_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重复，则p=　　。

正确答案

8

解析

双曲线中a2=12，b2=4，∴c2=a2+b2=14，∴c=4

∴双曲线的右焦点为（4，0）

∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重复，

∴

∴p=8

故答案为：8

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知为函数图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率.

（1）若函数在区间上存在极值，求实数m的取值范围；

（2）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围.

正确答案

见解析

解析

（1）由题意， ……………………1分
所以 ……………………2分

当时，；当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减。

故在处取得极大值. ……………………4分

因为函数在区间(）上存在极值，

所以得，

即实数的取值范围是. ……………………6分

（2）由得 ……………………7分

令

则. ……………………9分

令则

因为所以,故在上单调递增,

所以,从而，

在上单调递增, ……………………11分

所以实数的取值范围是. ……………………13分

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知抛物线和双曲线都经过点,它们在x轴上有共同焦点，对称轴是坐标轴，抛物线的定点为坐标原点。.

（1）求抛物线和双曲线标准方程；

（2）已知动直线m过点P(3,0),交抛物线于A，B两点，记以线段AP为直径的圆为圆C，

求证：存在垂直于x轴的直线l被圆C截得的弦长为定值，并求出直线l的方程。

正确答案

见解析。

解析

知识点

双曲线的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

已知抛物线的准线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为 .

正确答案

2

解析

略

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足，则弦AB的中点到准线的距离为________.

正确答案

1

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知抛物线：，直线交此抛物线于不同的两个点、。

（1）当直线过点时，证明为定值；

（2）当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；

（3）记，如果直线过点，设线段的中点为，线段的中点为，问是否存在一条直线和一个定点，使得点到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）过点与抛物线有两个交点，可知其斜率一定存在，设，其中（若时不合题意），由得，，………………4分

注：本题可设，以下同。

（2）当直线的斜率存在时，设，其中（若时不合题意）。

由得。

，从而，………………6分

假设直线过定点，则，从而，得，即，即过定点，………………8分

当直线的斜率不存在，设，代入得，，，从而，即，也过。

综上所述，当时，直线过定点，………………10分

（3）依题意直线的斜率存在且不为零，由（1）得点的纵坐标为，代入得，即，…………12分

设，则消得…………14分

(1)解：设椭圆C的方程为（a＞＞），

抛物线方程化为，其焦点为， . ……………2分

则椭圆C的一个顶点为，即；由，∴，

所以椭圆C的标准方程为 ……………5分

(2)证明：易求出椭圆C的右焦点 ……………6分

设，显然直线的斜率存在，

设直线的方程为，代入方程并整理，

得 …………… 7分

∴， ……………8分

又，，，，，

而，，

即，

∴，， ……………10分

所以 ……………12分

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质直线与圆锥曲线的综合问题

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正确答案

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