抛物线及其性质_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题 · 15 分

如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.

22.求p的值；

23.若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

p=2

解析

由题意可得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离.

由抛物线的定义得，即p=2

考查方向

本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题方法.为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

由抛物线定义求出p=2.

易错点

对抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识不熟悉，计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

抛物线的方程为,，可设.

因为AF不垂直于y轴，可设直线AF:x=sy+1,,由消去x得

，故，所以.

又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，

从而的直线FN:，直线BN:，

所以，

设M(m,0),由A,M,N三点共线得：，

于是，经检验，m<0或m>2满足题意.

综上，点M的横坐标的取值范围是.

考查方向

本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题方法.为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

设直线AF:x=sy+1，求出，再由M(m,0),由A,M,N三点共线得：，于是，经检验，m<0或m>2满足题意.

易错点

对抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识不熟悉，计算错误

1

题型：填空题

|

填空题 · 4 分

7．抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则 .

正确答案

2

解析

依题意，点为坐标原点，所以，即

考查方向

本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力

解题思路

标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．

易错点

焦点与准线的关系

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

6．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为________.

正确答案

解析

设所求抛物线方程为y2=2px，

依题意9=2p

∴p=，

又因为其焦点到准线的距离为p

故答案为：

考查方向

本题主要考查了抛物线的定义,在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与抛物线的方程等知识点交汇命题，体现了学生的基础知识掌握能力。

解题思路

理解题意，代入点P求出抛物线的方程，有方程去解决性质问题。

易错点

1、抛物线的方程和图像记忆出错。

2、不能准确理解焦点到准线的距离，从而不知如何求解。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

10．已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，直线与抛物线相交于两点．若线段的中点为，则直线l的方程为( )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

易知抛物线的方程为.设则，两式相减得：

，所以AB的斜率，从而直线AB的方程为，即.

考查方向

直线与圆锥曲线的位置关系。

解题思路

直接使用点差法即可算出直线的斜率，用点斜式即可得到所求直线的方程。

易错点

没有想到点差法。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与圆锥曲线的综合问题

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

9. 已知抛物线上一点到焦点的距离等于，则直线的斜率为（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

设M（x，y），由题意可知x+p/2=2p，所以x=3p/2，则，故的斜率为。

考查方向

抛物线的定义的使用。

解题思路

根据到焦点的距离等于到准线的距离可以将点M的坐标求出从而进一步求出MF的斜率。

易错点

不知道将到焦点的距离转化到准线的距离。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

15. 已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若，则的值等于________．

正确答案

解析

由题意得：，准线方程为，设坐标原点为O，则，所以。设，由得，。过点M做MB垂直于准线交准线于点B，，由抛物线的定义知，，所以，所以，解得。

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质等知识，意在考查考生的数形结合能力和转化与化归的能力，是一道比较综合的问题。

解题思路

1.先将题中给出的信息表示出来，在三角形中，利用三角函数的定义表示出

2.然后利用角建立等量关系，解方程即可。

易错点

1.不会利用定义转化题中的条件导致找不到问题的突破口。

2.不知道该用什么知识建立关于a,b,c之间的等量关系。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

10.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )

A(1，3)

B(1，4)

C(2，3)

D(2，4)

正确答案

D

解析

不妨设直线，带人抛物线方程有：，则，又中点，则，即

代入，可得即，又由圆心到直线的距离等于半径，

可得，由可得故选D选项。

考查方向

本题主要考察直线与圆、圆锥曲线的位置关系等知识，意在考察考生的树形结合能力和运算推理能力。

解题思路

先设直线方程后代人消元得到判别式和中点，然后根据得到代人得到，最后利用圆和直线相切得到后即可得到答案。

易错点

不会转化题中给出的条件这样的直线l恰有4条；找不到r和t之间的关系导致没有思路。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

7．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由渐近线过点得，由双曲线的一个焦点在抛物线的准线上得到，再结合；所以选D选项。

考查方向

本题主要考查了求双曲线的方程；属于比较灵活的题，常考求方程、离心率的值或范围、中点弦，面积等问题。

解题思路

1、由渐近线所过的点求出的等量关系；2、焦点在抛物线的准线上得到的值，再由等量关系求出的值；

易错点

本题易在等量关系计算上出问题。

知识点

双曲线的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

|

简答题 · 15 分

如图，点是抛物线的焦点.

22.求抛物线方程；

23.若点为圆：上一动点，直线是圆在点处的切线，直线与抛物线相交于两点（在轴的两侧），求四边形的面积的最小值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

（Ⅰ）

考查方向

本题考察了抛物线的定义及标准方程，考察了直线与圆的位置关系，考察了，利用函数求最值，题型比较综合，运算量较大

解题思路

根据抛物线的定义直接得出抛物线方程

易错点

本题易错在运算出错(忽略在y轴的两侧)，以及面积求解方式出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

（Ⅱ）解法一：设点，则直线

联立直线l与抛物线方程可得，

由题意可得且，故，

而，，且，

∴

，

当且仅当时取“=”， ∴，

∴，

即四边形OAFB面积的最小值为．

考查方向

本题考察了抛物线的定义及标准方程，考察了直线与圆的位置关系，考察了，利用函数求最值，题型比较综合，运算量较大

解题思路

1、写出切线方程

② 可以直接借助圆的性质，直接得出圆的方程

②借助直线与圆的关系，圆心到直线的距离等于半径，得出k，m的关系

2、选取恰当的面积公式

①

3、直线与抛物线联立，借助韦达定理求出|AB|长，进而得到面积4、借助函数求最值得到答案

易错点

本题易错在运算出错(忽略在y轴的两侧)，以及面积求解方式出错

1

题型：简答题

|

简答题 · 15 分

如图，已知抛物线，圆，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.

注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.

20.求点A，B的坐标；

21.求△PAB的面积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；；

解析

试题分析：（1）利用点斜式方程，直线与抛物线相切，求出点A坐标；利用点关于直线对称点的求法得到点B的坐标；由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y＝k(x﹣t)(k≠0)，联立，可得，

∵，解得k＝t，

∴x=2t，∴．

圆的圆心D（0，1），设B，由题意可知：点B与O关于直线PD对称，

∴，解得．

∴．

考查方向

本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．

解题思路

由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），与抛物线方程联立，利用△=0，解得k=t，可得A坐标．圆的圆心D（0，1），设B，由题意可知：点B与O关于直线PD对称，解得B坐标．

易错点

点关于直线对称点的计算，直线与圆锥曲线方程联立的计算.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

利用两点间距离公式公式和点到直线的距离公式求出三角形的底边长和高，求出三角形面积。

由（1）可得：，直线AB的方程为：，整理可得（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，

∴点P到直线AB的距离，

又．

∴．

考查方向

本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．

解题思路

由（1）可得AB方程：，可得点P到直线AB的距离d，又．即可得出△PAB的面积。

易错点

点关于直线对称点的计算，直线与圆锥曲线方程联立的计算.

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点