热门试卷

（1）∵，即，∴所求抛物线的方程为  ∴设圆的半径为r，则，∴圆的方程为.-

（2）设关于直线对称，且中点

∵  在抛物线上，∴

两式相减得：

∴，∴

∵在上∴，点在抛物线外

∴在抛物线上不存在两点关于直线对称。

解析：（1）如图，由是边长为的等边三角形，得点的坐标为，又在抛物线上，所以，得    ………………2分

同理在抛物线上，得   ………………2分

（2）如图，法1：点的坐标为，即点，所以直线的方程为或，因此，点的坐标满足

消去得 ，    所以

又，故

从而  ……①          ……………………………………………2分

由①有  ……②

②-①得

即，又，于是

所以是以为首项、为公差的等差数，  …………2分

（3）因为，

所以数列是正项等比数列，且公比，首项，

因正整数成等差数列，且，设其公差为，则

为正整数，所以，，

则，，，… 2分

=

           ………………………… 2分

而

 …………… 2分

因为，所以，

又为正整数，所以与同号，

故，所以，。

（2）

（1）由题意得，，设，

则，.

由，

得即，①                …………………2分

又在抛物线上，则，②

联立①、②易得                              ……………………4分

（2）（ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意得，

设椭圆的标准方程为，

则   ③

    ④                                   …………………5分

将④代入③，解得或（舍去）

所以                                  ……………………6分

故椭圆的标准方程为                     ……………………7分

（ⅱ）方法一：

容易验证直线的斜率不为0，设直线的方程为

将直线的方程代入中得：.………………8分

设，则由根与系数的关系，

可得：      ⑤

        ⑥                        …………………9分

因为，所以，且.

将⑤式平方除以⑥式，得：

由

所以       ……………………………………………………………11分

因为，所以，

又，所以，

故

，

令，因为  所以，即，

所以.

而，所以.

所以.……………………………………………………13分

方法二：

1）当直线的斜率不存在时，即时，，，

又，所以        …………8分

2）当直线的斜率存在时，即时，设直线的方程为

由得

设，显然，则由根与系数的关系，

可得：，            ……………………9分

          ⑤

    ⑥

因为，所以，且.

将⑤式平方除以⑥式得：

由得即

故，解得    ………………………………………10分

因为，所以，

又，

故

…………………11分

令，因为  所以，即，

所以.

所以                           ……………………12分

综上所述：.                     ……………………13分

解：（1）由已知，得

将两边平方，并化简得，

故轨迹的方程是，它是长轴、短轴分别为、2的椭圆

（2）由已知可得，，，

因为，所以，

即得，   ①    

故线段的中点为，其垂直平分线方程为， ②

因为在椭圆上，故有，，两式相减，

得：    ③

将①代入③，化简得，    ④ 

将④代入②，并令得，，即的坐标为。

所以.

设、，直线的方程为

因为既在椭圆上又在直线上，从而有

将（1）代入（2）得       

由于直线与椭圆相切，故

从而可得，                                 （3）

同理，由既在圆上又在直线上，可得

，                                （4）

由（3）、（4）得，

所以

即，当且仅当时取等号，

故、两点的距离的最大值.

（1）依题意，由已知得 ，，由已知易得,

解得.………………………3分

则椭圆的方程为.  ………………………4分

（2） ①当直线的斜率不存在时，由解得.

设，，则为定值. ………5分

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：.

将代入整理化简，得.…6分

依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，，

则，.  ……………………7分

又，，

所以 ………………………8分

 .…….………………13分

综上得为常数2. .…….………………14分