抛物线及其性质
共383题

抛物线及其性质
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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的定义及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

抛物线x2=y的焦点坐标为（　　）

A（，0）

B（0，）

C（，0）

D（0，）

正确答案

解析

∵抛物线x2 =y中，p=，=，焦点在y轴上，开口向上，

∴焦点坐标为（0，），

知识点

抛物线的定义及应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知为抛物线的焦点，抛物线上点满足。

（1）求抛物线的方程；

（2）点的坐标为(,)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于、两点，、两点的横坐标均不为，连结、并延长交抛物线于、两点，设直线的斜率为,问是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题根据抛物线定义，

所以，所以为所求， ……………………………2分

（2）设,,,

则，同理………………4分

设AC所在直线方程为，

联立得所以， ………………………6分

同理(8分)

所以 …………………………………………9分

设AB所在直线方程为联立

得 ………………………………………………10分

所以

所以 ……………………………………………………………12分

知识点

抛物线的定义及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知抛物线的焦点为，直线与此抛物线相交于两点，则

正确答案

解析

设，，由题意可知，，，则，联立直线与抛物线方程消去得，，可知，故. 故选A.

知识点

抛物线的定义及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知抛物线C：焦点为F，点P是C上一点，若△POF的面积为2，则

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的定义及应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的定义及应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为

。

正确答案

解析

双曲线的a=，b=

∴c==3

∴右焦点F（3，0）

∴抛物线y2=2px的焦点（3，0），

∴。

故答案为：6

知识点

抛物线的定义及应用

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，已知与坐标轴相交于O、A两点（O为坐标原点），另有抛物线.

（1）若抛物线上存在点B，直线BC切圆于点C，四边形OACB是平行四边形，求抛物线的方程；

（2）过点A作抛物线的切线，切点为P，直线AP与圆相交于另一点Q，求的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）因为是平行四边形，，

所以，，又，所以，解得。

∴抛物线的方程为。

（2）不妨设（），∵，

∴的方程为，即。

又，∴ ，即，∴的方程为。

联立方程组，消去，得。

∴的横坐标为，∴，又， ∴的取值

知识点

抛物线的定义及应用

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上横坐标为1的点到的距离为2 ，过点F的直线交抛物线于A，B两点。

（1）求抛物线的方程；

（2）若，求直线AB的斜率；

（3）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值。

正确答案

见解析

解析

（1）设抛物线方程为C：，

由其定义知，又，所以，.

（2）依题意，设直线的方程为.

将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得.

设所以 ………………①

因为，所以 ………………②

联立①、②，消去得.

所以直线的斜率是.

（3）由点与原点关于点对称，得是线段的中点，

从而点与点到直线的距离相等，所以四边形的面积等于，

所以时，四边形的面积最小，最小值是.

知识点

抛物线的定义及应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知点在抛物线上，为焦点，且。

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点。

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）若以为圆心，为半径的圆与轴交于两点,求的面积。

正确答案

见解析

解析

本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识及直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查特殊与一般的思想、化归与转化思想。

解法一：（1）抛物线，

焦点.…………………1分

由抛物线定义得：

解得，

抛物线的方程为，………………3分

（2）（i）依题意可设过点的直线的方程为，……………4分

由，可得，………………5分

设，

则…………………………………………………6分

，………………………………………………7分

.…………………8分

（ii）设，则①

以为圆心，为半径的圆的方程为………………9分

令，则②

把①代入②可得

或，

,…………………11分

.…………………12分

解法二：

（1）同解法一

（2）（i）①当的斜率不存在时，则

…………………4分

②当的斜率存在时，设

由，可得，………………5分

设，

则………………6分

………………7分

.……………8分

（ii）设圆的半径为，

则.……………9分

又点到的距离为，

……………11分

.………………12分

知识点

抛物线的定义及应用

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