- 生活中的圆周运动
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小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图6－7－3中的
正确答案
小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力
由此可得
可见，
如图所示，在竖直平面内有一水平向右的匀强电场，场强E＝1.0×104 N/C.电场内有一半径R＝2.0 m的光滑绝缘细圆环形轨道竖直放置且固定，有一质量为m＝0.4 kg、带电荷量为q＝＋3.0×10－4 C的带孔小球穿过细圆环形轨道静止在位置A，现对小球沿切线方向作用一瞬时速度vA，使小球恰好能在光滑绝缘细圆环形轨道上做圆周运动，取圆环的最低点为重力势能和电势能的零势能点．已知g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)瞬时速度vA的大小；
(2)小球机械能的最小值．
正确答案
(1)10 m/s (2)12 J
(1)如图所示，小球的平衡位置在A点，此时重力与电场力的合力F与重力的夹角为θ，则tan θ＝
F＝
小球速度最小时的位置在过平衡位置的直径的另一端B，且vB＝0，从B位置到A位置，由动能定理有
代入数据得vA＝10 m/s.
(2)由功能关系可知，除重力外的其他力做负功越多，小球的机械能越小，因此小球机械能的最小值的位置在小球电势能的最大值的位置，即在图中D位置，设机械能的最小值为Emin，则由能量守恒定律得
如图所示，两个水平放置的带电平行金属板的匀强电场中，一长为 L 的绝缘细线一端固定在 O点，另端栓着一个质量为 m，带有一定电量的小球，小球原来静止，当给小球某一冲量后，它可绕 O 点在竖直平面内作匀速圆周运动。若两板间电压增大为原来的 4 倍时，求：
（1）要使小球从 C 点开始在竖直平面内作圆周运动，开始至少要给小球多大冲量？
（2）在运动过程中细线所受的最大拉力。
正确答案
（1）
（2）T = 18 mg
对本题的物理情景不难想象：一绳系带电小球在两板间原来的电场中作匀速圆周运动。后来两板间电压升高为4倍，小球仍在竖直面内作圆周运动。但这两情况下相应的物理条件是不同的，必须注意正确地把它们转化为具体的物理条件。
（1）设原来两极板间电压为U，间距为 d ，小球电量为 q，因小球开始能在电场中作匀速圆周运动，故小球所受电场力向上，并且和重力相等，所以小球带正电，且满足
qU/d = mg…………①，
当两板间电压增到 4U时，设需在 C 点给小球的冲量为 I才能使其在竖直平面内做圆周运动，并且 C 点就是小球做圆周运动的等效最高点，(即临界点)在等效最高点处小球的线速度最小，小球所受新的电场力与重力的合力恰好满足在该处作圆周运动的向心力，此时细线对小球的拉力为零(这是等效最高点的特点)。
即：
∴ 
（2）小球在最高点 D时就是小球做圆周运动的等效最低点，小球在等效最低点处的线速度最大，所以细线L所受拉力最大，设拉力为T ，由牛顿第二定律，有：
小球C点运动到D点过程中，重力和电场力做功，根据动能定理，有：
由②式得小球在等效最低点处的线速度 
将⑥式代入④式，得 T = 18 mg。
如图所示，游乐场翻滚过山车上的乘客常常会在高速旋转或高空倒悬时吓得魂飞魄散，但这种车的设计有足够的安全系数，离心现象使乘客在回旋时稳坐在座椅上，还有安全棒紧紧压在乘客胸前，在过山车未达终点以前，谁也无法将它们打开，设想如下数据，轨道最高处离地面32 m，最低处几乎贴地，圆环直径15 m，过山车经过最低点时的速度约25 m/s，经过最高点时的速度约18 m/s．试利用牛顿第二定律和圆周运动的知识，探究这样的情况下能否保证乘客的安全？（g取10 m/s2）
正确答案
解：首先我们分析一下当过山车运动到环底和环顶时车中人的受力情况：重力mg、FN上和FN下，FN下和FN上分别为过山车在环底和顶部时对人的支持力（为使问题简化，可不考虑摩擦及空气阻力）．我们知道，过山车沿圆环滑动，人也在做圆周运动，这时人做圆周运动所需的向心力由mg和FN提供，用v下表示人在圆环底部的速度，v上表示人在圆环顶部的速度， R表示圆环的半径，则
在底部：FN下- mg=m
在顶部：FN上+mg=m
由①式可知：FN下=mg+m
由②式可知，在环的顶部，当重力mg等于向心力
如图所示是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道，表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，车以v1＝
正确答案
试题分析：由牛顿第二定律得
代入数据得
点评：关键是知道在最低点重力和支持力充当向心力，基础题，比较简单
过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1=2.0m、R2=1.4m。一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v0=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L=6.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取g=10m/s2，计算结果保留小数点后一位数字。试求：
（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少；
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离。
正确答案
解：（1）设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1，根据动能定理
小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律
由①②得
（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由题意
由④⑤得
（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足
由⑥⑦⑧得
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理
解得
为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足
解得R3=27.9m
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
当
当
某游乐场过山车模型简化为如图所示，光滑的过山车轨道位于竖直平面内，该轨道由一段斜轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。可视为质点的过山车从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。
（1）若要求过山车能通过圆形轨道最高点，则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度h于少要多少？
（2）考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的7倍，过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度h不得超过多少？
正确答案
解：（1）设过山车总质量为m0，从高度h1处开始下滑，恰能以v1过圆周轨道最高点
在圆周轨道最高点有：
运动过程机械能守恒：
由①②式得：
高度h至少要2.5R
（2）设从高度h2处开始下滑，过圆周最低点时速度为v2，游客受到的支持力最大是
最低点时：
运动过程机械能守恒：
由③④式得：
高度h不得超过3R
如图，质量为m的小球用细绳悬于O点且在竖直平面内做圆周运动，到达最高点时速度为v，则此时绳子的张力为 。(绳长为L)
正确答案
mv2/L-mg
试题分析：在最高点，受力分析可知，小球受重力、绳子拉力，即
点评：本题考查了圆周运动相关的向心力方程的列式求解过程。通过受力分析便能找到向心力来源。
如图是自行车传动机的示意图，其中Ⅰ是大齿轮，Ⅱ是小齿轮，Ⅲ是后轮。
（1）假设脚踏板的转速为
（2）要知道在这种情况下自行车前进的速度有多大，除需要测量大齿轮Ⅰ的半径
（3）用上述量推导出自行车前进速度的表达式：______________。
正确答案
（1）
（2）后轮的半径
（3）
用一轻绳栓一小球，让其在竖直平面内绕O点运动，如图所示，设绳长为L，当小球恰能通过最高点时，则最高点的速度为___________，小球在最低点的加速度为___________。
正确答案
___
小球恰好能通过最高点，根据牛顿第二定律mg=m
小球从最高点运动到最低点的过程中只有重力做功，机械能守恒mg（2L）=
解得v0=
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