热门试卷

（Ⅰ）设椭圆C的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为a、b、c

由题设知：c=1

由e===，得a=，

则b=1

∴椭圆C的方程为+y2=1

（Ⅱ）过M(0 ， )点斜率为k的直线l1：y-=kx

即l1：y=kx+

与椭圆C方程联立消y得（2k2+1）x2+4x+2=0（*）

由l1与椭圆C有两个不同交点知

其△=32k2-8（2k2+1）＞0得k＜-或k＞

∴k的范围是(-∞，-)∪(，+∞)．

（Ⅲ）设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则x1、x2是（*）的二根

则x1+x2=-，则y1+y2=k（x1+x2）+2=

则+=(x1+x2，y1+y2)=(- ， )

由题设知A( ， 0) 、B(0 ， 1)，∴=(- ， 1)

若(+)⊥，须(+)•=+=0

得k=-∉(-∞，-)∪(，+∞)

∴不存在满足题设条件的l1．

（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，

因为△MNF为正三角形，所以|OF|=|MN|，

即1=•，解得b=.a2=b2+1=4，因此，椭圆方程为+=1.

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，

|OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2（a2＞1），

因此，恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2．

（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，

设直线AB的方程为：x=my+1，代入+=1，

整理得（a2+b2m2）y2+2b2my+b2-a2b2=0，

所以y1+y2=，y1y2=

因为恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，所以∠AOB恒为钝角．

即•=(x1，y1)•(x2，y2)=x1x2+y1y2＜0恒成立．

x1x2+y1y2=（my1+1）（my2+1）+y1y2=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1

=-+1

=＜0.

又a2+b2m2＞0，所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2＜0对m∈R恒成立，

即a2b2m2＞a2-a2b2+b2对m∈R恒成立．

当m∈R时，a2b2m2最小值为0，所以a2-a2b2+b2＜0．

a2＜a2b2-b2，a2＜（a2-1）b2=b4，

因为a＞0，b＞0，所以a＜b2，即a2-a-1＞0，

解得a＞或a＜（舍去），即a＞，

综合（i）（ii），a的取值范围为（，+∞）．

设A（x1，y1）、B（x2，y2），

则+=1，①+=1．②

①-②，得+=0．

∴=-•．

又∵M为AB中点，

∴x1+x2=2，y1+y2=2．

∴直线l的斜率为-．

∴直线l的方程为y-1=-（x-1），

即3x+4y-7=0．