热门试卷

（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，-)，(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b==1，故曲线C的方程为x2+=1．

（2）①设直线l1：y=kx+，A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足

消去y并整理得(k2+4)x2+2kx-1=0，

故x1+x2=-，x1x2=-．

以线段AB为直径的圆过坐标原点，则⊥，即x1x2+y1y2=0．

而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+3，

于是x1x2+y1y2=---+3=0，

化简得-4k2+11=0，所以k2=．

②由①，|AB|=|x1-x2|===，

将上式中的k换为-得|CD|=，

由于AB⊥CD，故四边形ABCD的面积为S=|AB||CD|=，

令k2+1=t，则S====，

而∈(0，1)，故4＜-9(-)2+≤，故≤S＜2，

当直线l1或l2的斜率有一个不存在时，另一个斜率为0，不难验证此时四边形ABCD的面积为2，

故四边形ABCD面积的取值范围是[，2]．

（1）设P（x，y），则d1=|x+| ，d2=，

由题设知|x+| =，

平方整理可得+y2=1．

（2）将y=k（x+1）（k≠0）代入+y2=1，

消去y，得（1+4k2）x2+8k2x+4k2-4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，

y1+y2=k(x1+x2+2)=，

弦AB的中点为(-，)，中垂线n的方程为y-=-(x+)，

令x=0，可得y0=-，

∵k≠0，=-，+4k≥4或+4k≤-4，

∴-≤-≤，且-≠0，

即y0的取值范围是[-，0)∪(0，]．

(Ⅰ)   (Ⅱ)见解析   （Ⅲ）

（Ⅰ）由题意得：，∴，∴椭圆C的方程为。

（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知，是椭圆C的左焦点，离心率，设是椭圆的左准线，则：作于，于，

于轴交于点H（如图），

∵点A在椭圆上，∴

==

∴，同理

∴。

方法二：当时，记。则AB：

将其代入方程得

设，则是此二次方程的两个根。∴，

 ①∵，代入①式得。②

当时，仍满足②式。∴。

（Ⅲ）设直线AB倾斜角为，由于DE⊥AB，由（Ⅱ）可得

，，

当或时，取得最小值。

解（Ⅰ）由题意得直线l1的方程为y=x-2，①

过原点垂直于l1的直线方程为y=-x②

解①②得：x=

因为椭圆中心O（0，0）关于直线l1的对称点在直线x=上，

∴=3

又∵直线l1过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0），

∴c=2，a2=6，b2=2

故椭圆C的方程为+=1③

（II）当直线l1的斜率存在时，

设直线l1的方程为y=k（x+2），代入③并整理得：

（3k2+1）x2+12k2x+12k2-6=0

设M（x1，y1），N（x2，y2）

则x1+x2=-，x1x2=

∴|MN|=|x1-x2|==

坐标原点O到直线l2的距离d=．

∵（•）•sin∠MON=，即S△MON=

而S△MON=||MN|d

∴|NM|d=，即=

解得k=±，此时直线l2的方程为y=±（x+2）

当直线l2的斜率不存在时，直线l2的方程为x=-2

此时点M（-2，），N（-2，-），满足S△MON=，

综上得，直线l2的方程为x=-2或±y+2=0．