直线与椭圆的位置关系
共677题

· 直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系
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题型：简答题

简答题

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（-2，0），且长轴长与短轴长的比是2：．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）设椭圆C的方程为+=1(a＞b＞0)．

由题意

解得a2=16，b2=12．

所以椭圆C的方程为+=1

（Ⅱ）设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为+=1，故-4≤x≤4．

因为=(x-m，y)，

所以||2=(x-m)2+y2=(x-m)2+12×(1-)=x2-2mx+m2+12=(x-4m)2+12-3m2．

因为当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，

即当x=4m时，||2取得最小值．而x∈[-4，4]，

故有4m≥4，解得m≥1．

又点M在椭圆的长轴上，即-4≤m≤4．

故实数m的取值范围是m∈[1，4]．

题型：填空题

填空题

已知椭圆+=1的两个焦点分别是F1、F2，△MF1F2的重心G恰为椭圆上的点，则点M的轨迹方程为______．

正确答案

设重心（x1，y1），M（x0，y0）而F1（2，0），F2（-2，0）由重心坐标公式得

x1==，y1=，

∵重心在椭圆上．

∴+=1，

所以+=1，

即+=1，

所以M的轨迹方程为：

+=1（x≠±9）．

答案：+=1（x≠±9）．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m，0），（m是大于0的常数）

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C过点M(2，)，设P（2，y0）为椭圆C上一点，试求P点焦点F的距离；

正确答案

（1）依题意可知c=m，=

∴a=2c=2m，∴b==m，

∴椭圆的方程为：+=1

（2）把M代入椭圆方程得：+=1

求得m=

∴椭圆方程为+=1

∴焦点坐标为（-，0）

把点P代入求得y0=±

∴点P的坐标为（2，±）

∴P点焦点F的距离为：=

题型：简答题

简答题

椭圆+=1(a＞b＞0)与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且⊥（O为坐标原点）．

（Ⅰ）求证：+等于定值；

（Ⅱ）当椭圆的离心率e∈[，]时，求椭圆长轴长的取值范围．

正确答案

（1）证明：

消去y得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0

△=4a4-4（a2+b2）a2（1-b2）＞0，a2+b2＞1

设点P（x1，y1），Q（x2，y2），

则x1+x2=，x1x2=，

由•=0，x1x2+y1y2=0，

即x1x2+（1-x1）（1-x2）=0

化简得2x1x2-（x1+x2）+1=0，

则-+1=0

即a2+b2=2a2b2，故+=2

（Ⅱ）由e=，b2=a2-c2，a2+b2=2a2b2

化简得a2==+

由e∈[，]得a2∈[，]，

即a∈[，]

故椭圆的长轴长的取值范围是[，]．

题型：填空题

填空题

若椭圆+=1(a＞b＞0)的左右焦点分别是F1，F2，线段F1F2被y2=bx焦点分为3：1两段，则此椭圆的离心率为______．

正确答案

y2=bx焦点坐标是，由题意可知，=，

∴b=2c，∴a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，

∴a=c，e=．

答案：．

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