- 直线与椭圆的位置关系
- 共677题
过椭圆C:+
=1的右焦点F作斜率为k(k>0)的直线l与椭圆交于A、B两点,且坐标原点O到直线l的距离d满足:0<d<
.
(I)证明点A和点B分别在第一、三象限;
(II)若•
>-
,求k的取值范围.
正确答案
(I)由已知,a=,b=
,则c=2,F(2,0),直线方程为y=k(x-2),由0<d<
及k>0,得0<
<
,解这个不等式,得0<k<
.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B坐标是方程组的解,
消去y得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0,则x1+x2=,x1x2=
,
y1y2=k(x1-2)•k(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]
=k2(-2•
+4)=-
<0,
∵0<k<,∴
<0,即x1x2<0,
不妨设x1<0,则x2>0,此时y1=k(x1-2)<0,于是y2>0,
A、B分别在第一、三象限.
(II)由•
=x1x2+y1y2=
-
=
>-
,
注意到k>0,解得k>.所以k的取值范围是(
,
).
我国计划发射火星探测器,该探测器的运行轨道是以火星(其半径R=34百公里)的中心F为一个焦点的椭圆.如图,已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里,远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里.假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨,其中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长,求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里).
正确答案
设所求轨道方程为+
=1 ( a>b>0 ),c=
.
∵a+c=800+34,a-c=8+34,
∴a=438,c=396.…(4分)
于是 b2=a2-c2=35028.
∴所求轨道方程为 +
=1.…(8分)
设变轨时,探测器位于P(x0,y0),则x02+y02=ab=81975.1,
又+
=1,
解得 x0=239.7,y0=156.7.…(11分)
∴探测器在变轨时与火星表面的距离为-R≈187.3.…(14分)
答:探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里.…(16分)
已知F1(-,0),F2(
,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=4,记动点P的轨迹为E.
(1)求E的方程;
(2)曲线E的一条切线为l,过F1,F2作l的垂线,垂足分别为M,N,求|F1M|•|F2N|的值;
(3)曲线E的一条切线为l,与x轴分别交于A,B两点,求|AB|的最小值,并求此时切线的斜率.
正确答案
(1)∵|F1F2|=2
又∵|PF1|+|PF2|=4>2
∴P点轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,2a=4,2c=2,
故椭圆方程为+y2=1
(2)①当切线斜率不存在时,切线为x=±2,此时|F1M|•|F2N|=1.
②当切线斜率存在时,设切线方程为y=kx+b,(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0
△=(8kb)2-4(1+4k2)(4b2-4)=0,
∴b2=4k2,|F1M|=,|F2N|=
,|F1M|•|F2N|=
=
=1,
综上所述,|F1M|•|F2N|=1.
(3)由(2)知,A(-,0),B(0,b),|AB|=
=
=
≥
=3
当且仅当=4k2,即k=±
时取等号
故AB2的最小值为3,此时斜率为±
已知点P(3,4)是椭圆+
=1(a>b>0)上一点,离心率e=
,F1,F2是椭圆的两个焦点.
(1)求椭圆的面积;
(2)求△PF1F2的面积.
正确答案
(1)由题意点P(3,4)是椭圆+
=1(a>b>0)上一点,离心率e=
,
∴e==
①
+
=1②(3分)
由①、②联立得:a2=45,b2=20
∴所求方程为:+
=1(6分)
(2)由题意知:c=5,∴F1 (-5,0),F2 (5,0)
∵点P(3,4)
∴△PF1F2的面积为×10×4=20(12分)
设椭圆C:+
=1(a>b>0)的离心率为e=
,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)椭圆C上一动点P(x0,,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,,求3x1-4y1的取值范围.
正确答案
(1)依题意知,2a=4,∴a=2.
∵e==
,
∴c=,b=
=
.
∴所求椭圆C的方程为+
=1.
(2)∵点P(x0,,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,,
∴
解得:x1=,y1=
.
∴3x1-4y1=-5x0.
∵点P(x0,,y0)在椭圆C:+
=1上,
∴-2≤x0≤2,则-10≤-5x0≤10.
∴3x1-4y1的取值范围为[-10,,10].
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