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题型:简答题
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简答题

过椭圆C:+=1的右焦点F作斜率为k(k>0)的直线l与椭圆交于A、B两点,且坐标原点O到直线l的距离d满足:0<d<.

(I)证明点A和点B分别在第一、三象限;

(II)若>-,求k的取值范围.

正确答案

(I)由已知,a=,b=,则c=2,F(2,0),直线方程为y=k(x-2),由0<d<及k>0,得0<,解这个不等式,得0<k<.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B坐标是方程组的解,

消去y得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0,则x1+x2=,x1x2=

y1y2=k(x1-2)•k(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]

=k2(-2•+4)=-<0,

∵0<k<,∴<0,即x1x2<0,

不妨设x1<0,则x2>0,此时y1=k(x1-2)<0,于是y2>0,

A、B分别在第一、三象限.

(II)由=x1x2+y1y2=-=>-

注意到k>0,解得k>.所以k的取值范围是().

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简答题

我国计划发射火星探测器,该探测器的运行轨道是以火星(其半径R=34百公里)的中心F为一个焦点的椭圆.如图,已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里,远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里.假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨,其中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长,求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里).

正确答案

设所求轨道方程为+=1  ( a>b>0 ),c=

∵a+c=800+34,a-c=8+34,

∴a=438,c=396.…(4分)

于是 b2=a2-c2=35028.

∴所求轨道方程为 +=1.…(8分)

设变轨时,探测器位于P(x0,y0),则x02+y02=ab=81975.1,

+=1,

解得 x0=239.7,y0=156.7.…(11分)

∴探测器在变轨时与火星表面的距离为-R≈187.3.…(14分)

答:探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里.…(16分)

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简答题

已知F1(-,0),F2(,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=4,记动点P的轨迹为E.

(1)求E的方程;

(2)曲线E的一条切线为l,过F1,F2作l的垂线,垂足分别为M,N,求|F1M|•|F2N|的值;

(3)曲线E的一条切线为l,与x轴分别交于A,B两点,求|AB|的最小值,并求此时切线的斜率.

正确答案

(1)∵|F1F2|=2

又∵|PF1|+|PF2|=4>2

∴P点轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,2a=4,2c=2

故椭圆方程为+y2=1

(2)①当切线斜率不存在时,切线为x=±2,此时|F1M|•|F2N|=1.

②当切线斜率存在时,设切线方程为y=kx+b,(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0

△=(8kb)2-4(1+4k2)(4b2-4)=0,

∴b2=4k2,|F1M|=,|F2N|=,|F1M|•|F2N|===1,

综上所述,|F1M|•|F2N|=1.

(3)由(2)知,A(-,0),B(0,b),|AB|====3

当且仅当=4k2,即k=±时取等号

故AB2的最小值为3,此时斜率为±

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简答题

已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,离心率e=,F1,F2是椭圆的两个焦点.

(1)求椭圆的面积;

(2)求△PF1F2的面积.

正确答案

(1)由题意点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,离心率e=

∴e==+=1②(3分)

由①、②联立得:a2=45,b2=20

∴所求方程为:+=1(6分)

(2)由题意知:c=5,∴F1 (-5,0),F2 (5,0)

∵点P(3,4)

∴△PF1F2的面积为×10×4=20(12分)

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简答题

设椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为e=,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.

(1)求椭圆C的方程;

(2)椭圆C上一动点P(x0,,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,,求3x1-4y1的取值范围.

正确答案

(1)依题意知,2a=4,∴a=2.

∵e==

∴c=,b==

∴所求椭圆C的方程为+=1.

(2)∵点P(x0,,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,

解得:x1=,y1=

∴3x1-4y1=-5x0

∵点P(x0,,y0)在椭圆C:+=1上,

∴-2≤x0≤2,则-10≤-5x0≤10.

∴3x1-4y1的取值范围为[-10,,10].

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