直线与椭圆的位置关系
共677题

· 直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系
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题型：简答题

简答题

过椭圆C：+=1的右焦点F作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆交于A、B两点，且坐标原点O到直线l的距离d满足：0＜d＜.

（I）证明点A和点B分别在第一、三象限；

（II）若•＞-，求k的取值范围．

正确答案

（I）由已知，a=，b=，则c=2，F(2，0)，直线方程为y=k（x-2），由0＜d＜及k＞0，得0＜＜，解这个不等式，得0＜k＜.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B坐标是方程组的解，

消去y得（1+3k2）x2-12k2x+12k2-6=0，则x1+x2=，x1x2=，

y1y2=k（x1-2）•k（x2-2）=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]

=k2(-2•+4)=-＜0，

∵0＜k＜，∴＜0，即x1x2＜0，

不妨设x1＜0，则x2＞0，此时y1=k（x1-2）＜0，于是y2＞0，

A、B分别在第一、三象限．

（II）由•=x1x2+y1y2=-=＞-，

注意到k＞0，解得k＞.所以k的取值范围是(，).

题型：简答题

简答题

我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径R=34百公里）的中心F为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）．

正确答案

设所求轨道方程为+=1 ( a＞b＞0 )，c=．

∵a+c=800+34，a-c=8+34，

∴a=438，c=396．…（4分）

于是 b2=a2-c2=35028．

∴所求轨道方程为 +=1．…（8分）

设变轨时，探测器位于P（x0，y0），则x02+y02=ab=81975.1，

又+=1，

解得 x0=239.7，y0=156.7．…（11分）

∴探测器在变轨时与火星表面的距离为-R≈187.3．…（14分）

答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里．…（16分）

题型：简答题

简答题

已知F1(-，0)，F2(，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=4，记动点P的轨迹为E．

（1）求E的方程；

（2）曲线E的一条切线为l，过F1，F2作l的垂线，垂足分别为M，N，求|F1M|•|F2N|的值；

（3）曲线E的一条切线为l，与x轴分别交于A，B两点，求|AB|的最小值，并求此时切线的斜率．

正确答案

（1）∵|F1F2|=2

又∵|PF1|+|PF2|=4＞2

∴P点轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，2a=4，2c=2，

故椭圆方程为+y2=1

（2）①当切线斜率不存在时，切线为x=±2，此时|F1M|•|F2N|=1．

②当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+b，（1+4k2）x2+8kbx+4b2-4=0

△=（8kb）2-4（1+4k2）（4b2-4）=0，

∴b2=4k2，|F1M|=，|F2N|=，|F1M|•|F2N|===1，

综上所述，|F1M|•|F2N|=1．

（3）由（2）知，A(-，0)，B(0，b)，|AB|===≥=3

当且仅当=4k2，即k=±时取等号

故AB2的最小值为3，此时斜率为±

题型：简答题

简答题

已知点P（3，4）是椭圆+=1(a＞b＞0)上一点，离心率e=，F1，F2是椭圆的两个焦点．

（1）求椭圆的面积；

（2）求△PF1F2的面积．

正确答案

（1）由题意点P（3，4）是椭圆+=1(a＞b＞0)上一点，离心率e=，

∴e==①+=1②（3分）

由①、②联立得：a2=45，b2=20

∴所求方程为：+=1（6分）

（2）由题意知：c=5，∴F1 （-5，0），F2 （5，0）

∵点P（3，4）

∴△PF1F2的面积为×10×4=20（12分）

题型：简答题

简答题

设椭圆C：+=1(a＞b＞0)的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．

（1）求椭圆C的方程；

（2）椭圆C上一动点P（x0，，y0）关于直线y=2x的对称点为P1(x1，，求3x1-4y1的取值范围．

正确答案

（1）依题意知，2a=4，∴a=2．

∵e==，

∴c=，b==．

∴所求椭圆C的方程为+=1．

（2）∵点P（x0，，y0）关于直线y=2x的对称点为P1(x1，，

∴

解得：x1=，y1=．

∴3x1-4y1=-5x0．

∵点P（x0，，y0）在椭圆C：+=1上，

∴-2≤x0≤2，则-10≤-5x0≤10．

∴3x1-4y1的取值范围为[-10，，10]．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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