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简答题

如图,A为椭圆+=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,当AC垂直于x轴时,恰好有AF1:AF2=3:1.

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)设12

①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时,求λ12的值;

②当A点为该椭圆上的一个动点时,试判断是λ12否为定值?若是,请证明;若不是,请说明理由.

正确答案

(Ⅰ)设|AF1|=m,则|AF2|=3m.

由题设及椭圆定义得

消去m得a2=2c2,所以离心率

(Ⅱ)设A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),

=(-C-x0,-y0),B=(x1+C,y1

1,∴x1=--c,y1=-

又x02+2y02=2c2①,x12+2y12=2c2②,

将x1,y1代入②得:

+c)2+2(2=2c2即(c+x0+cλ12=2y20=2λ1c2③;

③-①得:2x0=cλ1-3c;

同理:由2.得2x0=-cλ2+3c;

∴cλ1-3c=-cλ2+3c,

∴λ12=6.

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简答题

设F1、F2分别为椭圆C:+=1的左、右两个焦点.

(1)若椭圆C上的点A(1,)到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标.

(2)已知圆心在原点的圆具有性质:若M、N是圆上关于原点对称的两点,点P是圆上的任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记作KPM、KPN那么KPMKPN=-1.试对椭圆+=1写出类似的性质,并加以证明.

正确答案

(1)由题意知,2a=4,∴椭圆C的方程为+=1,把点A(1,)代入,得+=1,解得b2=3,c2=1,∴椭圆C的方程是+=1,焦点坐标是F1(-1,0),F2(1,0)

(2)在椭圆+=1上取关于原点对称的两点M、N,在该曲线上任取不与M、N重合的动点P,直线PM,PN的斜率存在.那么kPM•kPN=-

证明:设椭圆方程是+=1(A=a2,B=b2),设M(m,n),则N(-m,-n),又设P(x,y),(x≠±m,),那么+=1①且+=1②

因为kPM•kPN=()•()=,由①知:n2=B-m2,由②y2=B-x2,所以y2-n2=-(x2-m2),所以kPM•kPN==-=-

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简答题

设M(-,0),N(,0),动点P满足条件kPM•kPN=-,记点P的轨迹为C,点R(-3,0),过点R且倾斜角为300的直线l交轨迹C于A、B两点.

(1)求直线l和轨迹C的方程;

(2)点F1(-2,0),求

(3)在直线l上有两个不重合的动点C、D,以CD为直径且过点F1的所有圆中,求面积最小的圆的半径长.

正确答案

(1)由点斜式可知直线l的方程为:x- 3y-3=0

设P(x,y)

∵kPM•kPN=-

=-

+ =1

(2)将直线方程与椭圆方程联立可得:

解得:A()B((,-))

=12

(3)根据题意:当过点F1(-2,0)的直线与直线L垂直时,圆的面积最小,

此时垂足为圆心.

所以半径长为点F1(-2,0)到直线l的距离

∴r==

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简答题

椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,0).

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设直线l:y=x+m与椭圆C交于两点A,B,O为坐标原点,若△OAB为直角三角形,求m的值.

正确答案

(Ⅰ)由已知==1,

所以a=2,c=

又a2=b2+c2,所以b=1,

所以椭圆C的方程为+y2=1;.

(Ⅱ)联立

消去y得5x2+8mx+4m2-4=0,△=64m2-80(m2-1)=-16m2+80,

令△>0,即-16m2+80>0,解得-<m<

设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

(ⅰ)当∠AOB为直角时,

则x1+x2=-m,x1x2=

因为∠AOB为直角,所以=0,即x1x2+y1y2=0,

所以2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,

所以-m2+m2=0,解得m=±

(ⅱ)当∠OAB或∠OBA为直角时,不妨设∠OAB为直角,

由直线l的斜率为1,可得直线OA的斜率为-1,

所以=-1,即y1=-x1

+=1;,

所以=1;,x1=±,m=y1-x1=-2x1=±

经检验,所求m值均符合题意,综上,m的值为±和±

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简答题

已知椭圆C:+=1 (a>b>0)的离心率e=,左、右焦点分别为F1、F2,点P(2, )满足F2在线段PF1的中垂线上.

(1)求椭圆C的方程;

(2)如果圆E:(x-)2+y2=r2被椭圆C所覆盖,求圆的半径r的最大值.

正确答案

(1)椭圆C的离心率e=,得=

其中c=,椭圆C的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),又点F2在线段PF1的中垂线上,

∴|F1F2|=|PF2|,∴(2c)2=()2+(2-c)2

解得c=1,a2=2,b2=1,

∴椭圆C的方程为+y2=1.

(2)设P(x0,y0)是椭圆C上任意一点,

+=1,|PE|=,∵=1-

∴|PE|==(-).

当x0=1时,|PE|min==

∴半径r的最大值为

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