- 直线与椭圆的位置关系
- 共677题
如图,A为椭圆+
=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,当AC垂直于x轴时,恰好有AF1:AF2=3:1.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设=λ1
,
=λ2
.
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时,求λ1+λ2的值;
②当A点为该椭圆上的一个动点时,试判断是λ1+λ2否为定值?若是,请证明;若不是,请说明理由.
正确答案
(Ⅰ)设|AF1|=m,则|AF2|=3m.
由题设及椭圆定义得,
消去m得a2=2c2,所以离心率.
(Ⅱ)设A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),
则=(-C-x0,-y0),
B=(x1+C,y1)
∵=λ1
,∴x1=-
-c,y1=-
又x02+2y02=2c2①,x12+2y12=2c2②,
将x1,y1代入②得:
(+c)2+2(
)2=2c2即(c+x0+cλ1)2=2y20=2λ1c2③;
③-①得:2x0=cλ1-3c;
同理:由=λ2
.得2x0=-cλ2+3c;
∴cλ1-3c=-cλ2+3c,
∴λ1+λ2=6.
设F1、F2分别为椭圆C:+
=1的左、右两个焦点.
(1)若椭圆C上的点A(1,)到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标.
(2)已知圆心在原点的圆具有性质:若M、N是圆上关于原点对称的两点,点P是圆上的任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记作KPM、KPN那么KPMKPN=-1.试对椭圆+
=1写出类似的性质,并加以证明.
正确答案
(1)由题意知,2a=4,∴椭圆C的方程为+
=1,把点A(1,
)代入,得
+
=1,解得b2=3,c2=1,∴椭圆C的方程是
+
=1,焦点坐标是F1(-1,0),F2(1,0)
(2)在椭圆+
=1上取关于原点对称的两点M、N,在该曲线上任取不与M、N重合的动点P,直线PM,PN的斜率存在.那么kPM•kPN=-
证明:设椭圆方程是+
=1(A=a2,B=b2),设M(m,n),则N(-m,-n),又设P(x,y),(x≠±m,),那么
+
=1①且
+
=1②
因为kPM•kPN=()•(
)=
,由①知:n2=B-
m2,由②y2=B-
x2,所以y2-n2=-
(x2-m2),所以kPM•kPN=
=-
=-
设M(-,0),N(
,0),动点P满足条件kPM•kPN=-
,记点P的轨迹为C,点R(-3,0),过点R且倾斜角为300的直线l交轨迹C于A、B两点.
(1)求直线l和轨迹C的方程;
(2)点F1(-2,0),求•
;
(3)在直线l上有两个不重合的动点C、D,以CD为直径且过点F1的所有圆中,求面积最小的圆的半径长.
正确答案
(1)由点斜式可知直线l的方程为:x- 3y-3
=0
设P(x,y)
∵kPM•kPN=-,
∴•
=-
∴+
=1
(2)将直线方程与椭圆方程联立可得:
解得:A(,
)B((
,-
))
∴•
=12
(3)根据题意:当过点F1(-2,0)的直线与直线L垂直时,圆的面积最小,
此时垂足为圆心.
所以半径长为点F1(-2,0)到直线l的距离
∴r==
椭圆C:+
=1(a>b>0)的离心率为
,且过点(2,0).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=x+m与椭圆C交于两点A,B,O为坐标原点,若△OAB为直角三角形,求m的值.
正确答案
(Ⅰ)由已知=
,
=1,
所以a=2,c=,
又a2=b2+c2,所以b=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1;.
(Ⅱ)联立,
消去y得5x2+8mx+4m2-4=0,△=64m2-80(m2-1)=-16m2+80,
令△>0,即-16m2+80>0,解得-<m<
.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
(ⅰ)当∠AOB为直角时,
则x1+x2=-m,x1x2=
,
因为∠AOB为直角,所以•
=0,即x1x2+y1y2=0,
所以2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,
所以-
m2+m2=0,解得m=±
.
(ⅱ)当∠OAB或∠OBA为直角时,不妨设∠OAB为直角,
由直线l的斜率为1,可得直线OA的斜率为-1,
所以=-1,即y1=-x1,
又+
=1;,
所以=1;,x1=±
,m=y1-x1=-2x1=±
,
经检验,所求m值均符合题意,综上,m的值为±和±
.
已知椭圆C:+
=1 (a>b>0)的离心率e=
,左、右焦点分别为F1、F2,点P(2,
)满足F2在线段PF1的中垂线上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如果圆E:(x-)2+y2=r2被椭圆C所覆盖,求圆的半径r的最大值.
正确答案
(1)椭圆C的离心率e=,得
=
,
其中c=,椭圆C的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),又点F2在线段PF1的中垂线上,
∴|F1F2|=|PF2|,∴(2c)2=()2+(2-c)2,
解得c=1,a2=2,b2=1,
∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设P(x0,y0)是椭圆C上任意一点,
则+
=1,|PE|=
,∵
=1-
,
∴|PE|==
(-
≤
≤
).
当x0=1时,|PE|min==
,
∴半径r的最大值为.
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