热门试卷

先证一个结论：若B为椭圆短轴端点，则∠F1PF2≤∠F1BF2．记∠F1PF2=θ，

|PF1|=r1，|PF2|=r2，cosθ===-1

又r1r2≤（）2=a2，∴cosθ≥=cos∠F1BF2，当且仅当r1=r2时等号成立，

即∠F1PF2≤∠F1BF2．题中椭圆上存在点P，使得∠F1PF2=900，当且仅当∠F1BF2≥900，即

cos∠F1BO≤等价于b≤a=，∴b∈（0，]．

故答案为：（0，]．

由焦半径公式|PF1|=a-ex，|PF2|=a+ex

|PF1|•|PF2|=（a-ex）（a+ex）=a2-e2x2

则|PF1|•|PF2|的最大值是a2=4．

答案：4．

（1）∵2a=4，=，∴a=2，c=1，b=．

∴椭圆的方程为+=1．

（2）设点P（x0，y0）（x0≠0，y0≠0），

直线l的方程为y-y0=k（x-x0），代入+=1，

整理，得（3+4k2）x2+8k（y0-kx0）x+4（y0-kx0）2-12=0．

∵x=x0是方程的两个相等实根，

∴2x0=-，解得k=-．

∴直线l的方程为y-y0=-（x-x0）．

令x=0，得点A的坐标为（0，）．

又∵+=1，∴4y+3x0=12．

∴点A的坐标为（0，）．

又直线l′的方程为y-y0=（x-x0），

令x=0，得点B的坐标为（0，-）．

∴以AB为直径的圆的方程为x•x+（y-）•（y+）=0．整理，得x2+y2+（-）y-1=0．

令y=0，得x=±1，

∴以AB为直径的圆恒过定点（1，0）和（-1，0）．

∵实数x、y满足+=6，

∴点（x，y）的轨迹是椭圆，其方程为+=1，

所以可设 x=3cosθ，y=sinθ，

则z=6cosθ+sinθ=sin(θ+ β)≤，

∴2x+y的最大值等于．

故答案为：