直线与椭圆的位置关系
共677题

· 直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系
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题型：简答题

简答题

离心率为的椭圆C：+=1(a＞b＞0)上有一点M到椭圆两焦点的距离和为10．以椭圆C的右焦点F（c，0）为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT（T为切点），且点P满足|PT|=|PB|（B为椭圆C的上顶点）．

（I）求椭圆的方程；

（II）求点P所在的直线方程l．

正确答案

（I）依题意有：

解得：

所以椭圆方程为：+=1．

（II）设点P（x，y）．由（I）得F（4，0），

所以圆F的方程为：（x-4）2+y2=9．

把B（0，3）点当作圆B：x2+（y-3）2=0，

点P所在的直线是圆B和圆O的根轴，

所以（x-4）2+y2-[x2+（y-3）2]=9，即4x-3y-1=0．

题型：简答题

简答题

已知点A，B的坐标分别是（0，-1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积-．

（1）求点M轨迹C的方程；

（2）若过点D（2，0）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点D、F（E在D、F之间），试求△ODE与△ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）．

正确答案

（1）、设M（x，y），∵kAM-kBM=-，∴•=-，

整理得动点M的轨迹方程为+y2=1(x≠0)．

（2）由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为y=k(x-2)(k≠±) ①

将①代入+y2=1，得l的方程为（2k2+1）x2-8k2x+（8k2-2）=0，由△＞0，解得0＜k2＜．

设E（x1，y1），F（x2，y2），则…②

令λ=，则λ=，即=λ•，即x1-2=λ(x2-2)，且0＜λ＜1．

由②得，，

∴=，即k2=-

∵0＜k2＜，且k2≠，∴0＜-＜，且-≠．

解得3-2＜λ＜ 3+2，且λ≠，∵0＜λ＜1，∴3-2＜λ＜ 1且λ≠．

∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是(3-2，)∪ (，1)．

题型：填空题

填空题

已知椭圆+=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得|+|=||成立，则离心率的取值范围为______．

正确答案

设，，的模分别为m，n，2c，椭圆的长轴长为2a，∠F1PF2=θ

则由题中条件可知，（两边平方），

m2+n2+2mncosθ=4c2，2mncosθ=4c2-m2-n2；

又在△F1PF2中，由余弦定理得，

2mncosθ=m2+n2-4c2，

∴m2+n2-4c2=0

4c2=m2+n2≥（m+n）2=2a2，即2c2≥a2

∴（）2≥1/2，离心率e=≥，

又0＜e＜1，

∴≤e＜1．

故答案为：[，1)

题型：填空题

填空题

已知定点N（1，0），动点A、B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆+=1的实线部分上运动，且AB∥x轴，则△NAB的周长L的取值范围是______．

正确答案

依题意可知抛物线准线为x=-1

椭圆右准线为x=4

设A（x1，y） B（x2，y）

过A作AH垂直x=-1 BI垂直x=4

由圆锥曲线第二定义

|NA|=|AH|=x1+1

|NB|=|BI|•=

L=x1+1+x2-x1+=

联立抛物线和椭圆方程求得x=或-6（舍负）

∴≤x2≤2

∴≤≤4

即L的取值范围是（，4）

故答案为（，4）

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1。

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；

（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值。

正确答案

解：（1）双曲线C1：左顶点A（-），渐近线方程为：y=±x

过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，所

以，解得

所以所求三角形的面积为S=。

（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=2，

由，得x2-2bx-b2-1=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，

又y1y2=（x1+b）（x2+b）

所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2=2（-1-b2）+2b2+b2=b2-2=0

故PO⊥OQ。

（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，

则O到直线MN的距离为

当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），

则直线OM的方程为y=，

由得，

所以

同理，

设O到直线OM的距离为d，

因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，

所以==3，即d=

综上，O到直线MN的距离是定值。

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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