热门试卷

解（1）设点M的坐标为（x，y），

由=-．得P(0，-)，Q(，0)，

由•=0，得(3，-)•(x，)=0，

所以y2=4x由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0，

所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．

（2）设直线l：y=k（x+1），其中k≠0代入y2=4x，得k2x2+2（k2-2）x+k2=0①

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个实数根，由韦达定理得x1+x2=-，x1x2=1

所以，线段AB的中点坐标为(，)，线段AB的垂直平分线方程为y-=-(x-)，

令y=0，x0=+1，所以，点E的坐标为(+1，0)．

因为△ABE为正三角形，所以，点E(+1，0)到直线AB的距离等于|AB|，而|AB|==•．

所以，=解得k=±，所以x0=．

（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，

所以曲线C的方程为：x2+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=-

设P（x0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2，y'|x=x0=-，得切线AB的方程为：

y=-（x-x0）+y0．

设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=．

由=+得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为：

+=1（x＞1，y＞2）

（Ⅱ）||2=x2+y2，y2==4+，

∴||2=x2-1++5≥4+5=9．

且当x2-1=，即x=＞1时，上式取等号．

故||的最小值为3．

（Ⅰ）由已知可得|PF1|+|PF2| =|F1F2| =6＞|F1F2|=4，

故曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为+=1．

（Ⅱ）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由条件可知A为MB的中点，

则有

将（3）、（4）代入（2）得+=1，整理为+-y1+=0．

将（1）代入上式得y1=2，再代入椭圆方程解得x1=±，

故所求的直线方程为y=±x+3．

方法二：依题意，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+3．

由得（5+9k2）x2+54kx+36=0．令△＞0，解得k2＞．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，①x1x2=．②

因为=，所以A为MB的中点，从而x2=2x1．

将x2=2x1代入①、②，得x1=，x12=，

消去x1得()2=，

解得k2=，k=±．

所以直线l的方程为y=±x+3．