直线与椭圆的位置关系
共677题

· 直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系
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题型：简答题

简答题

已知关于坐标轴对称的椭圆经过两点A（0，2）和B(，)；

（1）求椭圆的标准方程

（2）若点P是椭圆上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面积、

正确答案

（1）设经过两点A（0，2），B(，)的椭圆标准方程为

mx2+ny2=1，代入A、B得⇒，

∴所求椭圆方程为x2+=1、（5分）

（2）在椭圆x2+=1中，a=2，b=1、∴c==

又∵点P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=4、①（6分）

由余弦定理知：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2=（2c）2=12 ②（8分）

把①两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|=16，③

③-②得（2+）|PF1|•|PF2|=4，

∴|PF1|•|PF2|=4（2-），（10分）

∴S△PF1F2=|PF1|•|PF2|sin30°=2-、（12分）

题型：简答题

简答题

已知点A（1，1）是椭圆+=1(a＞b＞0)上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．

（1）求椭圆的两焦点坐标；

（2）设点B是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B两点关于原点O不对称；

（3）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．

正确答案

（I）由椭圆定义知：2a=4，∴a=2，∴+=1

把（1，1）代入得+=1∴b2=，则椭圆方程为+=1，

∴c2=a2-b2=4-=，∴c=

故两焦点坐标为(，0)，(-，0)（4分）

（II）用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为（-1，-1），

此时|AB|=2取椭圆上一点M（-2，0），则|AM|=.∴|AM|＞|AB|．

从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立．（8分）

（III）设AC方程为：y=k（x-1）+1

联立

消去y得（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0

∵点A（1，1）在椭圆上∴xC=（10分）

∵直线AC、AD倾斜角互补

∴AD的方程为y=-k（x-1）+1

同理xD=（11分）

又yc=k（xC-1）+1，yD=-k（xD-1）+1，yC-yD=k（xC+xD）-2k

所以kCD==

即直线CD的斜率为定值（13分）

题型：填空题

填空题

椭圆x2+4y2=4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是______．

正确答案

A是直角顶点

所以直角边斜率是1和-1

设A是（-2，0）

所以一条是y=x+2

代入椭圆

5x2+16x+12=0

（5x+6）（x+2）=0

x=-，x=-2（排除）

x=-，y=x+2=

所以和椭圆交点是C（-，）

则AC2=（-2+）2+（0-）2=

所以面积=AC2=

故答案为

题型：填空题

填空题

若椭圆C：+y2=1的一条准线方程为x=-2，则m=______；此时，定点(，0)与椭圆C上动点距离的最小值为______．

正确答案

由题意可可知=2，解得m=1．

∵椭圆C：+y2=1，∴，θ为参数．

设椭圆C上动点P(cosθ，sinθ)，则|PQ|===，

∴|PQ|min=．

答案：1，．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线y2=的焦点．PQ过椭圆焦点且PQ⊥x轴，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线AB的斜率为1，求四边形APBQ面积的最大值；

（3）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

正确答案

解：（1）设椭圆C的方程为

∵椭圆的一个顶点恰好是抛物线y2=的焦点，

∴a=

∵离心率等于，

∴，

∴c=1∴b=1

∴椭圆C的方程为；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+t，

代入椭圆方程，消元可得3x2+4tx+2t2﹣2=0

由△＞0，解得﹣＜t＜

由韦达定理得x1+x2=﹣t，x1x2=．

∵PQ过椭圆焦点且PQ⊥x轴，

∴|PQ|=

∴四边形APBQ的面积S=××|x1﹣x2|=×

∴t=0时，Smax=；

（3）当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，

设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，

PA的直线方程为y﹣=k（x﹣1），

与椭圆方程联立，消元可得（1+2k2）x2+（2k﹣4k2）x+k2﹣2k﹣1=0

∴x1+1=﹣

同理x2+1=﹣

∴x1+x2=，x1﹣x2=﹣

∴y1﹣y2=k（x1+x2）﹣2k=，x1﹣x2=﹣

∴

∴直线AB的斜率为定值．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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