热门试卷

（Ⅰ）由题意知a=，b=2，c=1，∴F1=(-1，0)，F2(1，0)，

设P（x，y），则• =(-1-x，-y)• (1-x，-y)=x2+y2+1=x2+4-x2-1=x2+3，

∵x∈[-，]，

∴当 x=0时，即点P为椭圆短轴端点时，•有最小值3；

当x=±，即点P为椭圆长轴端点时，•有最大值4．

（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l．由题意知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=k（x-5）

由方程组，得（5k2+4）x2-50k2x+125k2-20=0

依题意△=20(16-80k2) ＞0，∴-＜ k＜．

当-＜k＜时，设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为R（x0，y0），

则x1+x2=，x0=，∴y0=k(x0-5) =k(-5) =，

又|F2C|=|F2D|⇔F2R⊥l⇔k•kF2R=-1，∴k•kF1R=k•==-1，

∴20k2=20k2-4，而20k2=20k2-4不成立，所以不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|

综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|．

（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1．

因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．

于是可设直线AC的方程为y=-x+n．

由得4x2-6nx+3n2-4=0．

因为A，C在椭圆上，

所以△=-12n2+64＞0，解得-＜n＜．

设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

则x1+x2=，x1x2=，y1=-x1+n，y2=-x2+n．

所以y1+y2=．

所以AC的中点坐标为(，)．

由四边形ABCD为菱形可知，点(，)在直线y=x+1上，

所以=+1，解得n=-2．

所以直线AC的方程为y=-x-2，即x+y+2=0．

（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，

所以|AB|=|BC|=|CA|．

所以菱形ABCD的面积S=|AC|2．

由（Ⅰ）可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=，

所以S=(-3n2+16)(-＜n＜)．

所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值4．

（Ⅰ）由题意，设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），其中c=2，a2-b2=4．

设M（x1，y1），N（x2，y2）．

若直线MN⊥x轴，则MN的方程为x=-2，代入+=1，得y2=b2（1-）=，

∴|y1-y2|=，即|AB|=．

若直线MN不与x轴垂直，则设MN的方程为y=k（x+2），代入+=1，

得 +=1，

即 （a2k2+b2）x2+4a2k2x+a2（4k2-b2）=0．

△=（4a2k2）2-4（a2k2+b2）a2（4k2-b2）

=4a2b2[（a2-4）k2+b2]=4a2b4（1+k2），

∴|x1-x2|=，

∴|MN|=•

=

=•＞．

综上，|MN|的最小值为．

由题知 =6，即 b2=3a．

代入a2-b2=4，得a2-3a-4=0，

解得a=-1（舍），或a=4．∴b2=12．

∴椭圆C的方程为+=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-4，0），B（4，0）．

当|MN|取得最小值时，MN⊥x轴．

根据椭圆的对称性，不妨取M（-2，3），

∠AMB即直线AM到直线MB的角．

∵AM的斜率k1==，

BM的斜率k2==-，

∴tan∠AMB==-8．

∵∠AMB∈（0，π），

∴∠AMB=π-arctan8．

（1）依题意，e===，

从而b2=a2，

点A（2，3）在椭圆上，所以+=1，

解得a2=16，b2=12，

椭圆C的方程为+=1，

（2）若AP2=AB2+BP2成立，则必有∠ABP=90°，即AB⊥BP，

由椭圆的对称性知，B（-2，-3），

由AB⊥BP，kAB=知kBP=-，

所以直线BP的方程为y+3=-(x+2)，即2x+3y+13=0，

由，

得43y2+234y+315=0，

△=2342-4×43×315＞0，

所以直线BP与椭圆C有两个不同的交点，

即在椭圆C上存在不同于A、B的点P，使AP2=AB2+BP2．