直线与椭圆的位置关系
共677题

· 直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系
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题型：简答题

简答题

已知A，B，C为椭圆W：x2+2y2=2上的三个点，O为坐标原点．

（Ⅰ）若A，C所在的直线方程为y=x+1，求AC的长；

（Ⅱ）设P为线段OB上一点，且|OB|=3|OP|，当AC中点恰为点P时，判断△OAC的面积是否为常数，并说明理由．

正确答案

（Ⅰ）由，

得3x2+4x=0，

解得x=0或x=-，

∴A，C两点的坐标为（0，1）和(-，-)，

∴|AC|=．

（Ⅱ）①若B是椭圆的右顶点（左顶点一样），则B(，0)，

∵|OB|=3|OP|，P在线段OB上，

∴P(，0)，求得|AC|=，

∴△OAC的面积等于××=．

②若B不是椭圆的左、右顶点，

设AC：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），C（x2，y2），

由得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，

则x1+x2=-，x1x2=，

∴AC的中点P的坐标为(-，)，

∴B(-，)，代入椭圆方程，化简得2k2+1=9m2．

计算|AC|===．

∵点O到AC的距离dO-AC=．

∴△OAC的面积S△OAC=|AC|•dO-AC=×•=．

综上，△OAC面积为常数．

题型：简答题

简答题

从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线AB∥OM．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求∠F1QF2的取值范围；

（3）过F1作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|=3，求椭圆的方程．

正确答案

（1）由已知可设M（-c，y），

则有+=1．

∵M在第二象限，∴M（-c，）．

又由AB∥OM，可知kAB=kOM．

∴-=-．∴b=c．∴a=b．

∴e==．

（2）设|F1Q|=m，|F2Q|=n，

则m+n=2a，mn＞0．|F1F2|=2c，a2=2c2，

∴cos∠F1QF2===-1=-1≥-1=-1=0．

当且仅当m=n=a时，等号成立．

故∠F1QF2∈[0，]．

（3）∵CD∥AB，kCD=-=-．

设直线CD的方程为y=-（x+c），

即y=-（x+b）．

消去y，整理得

y=-（x+b）．

则+=1，

（a2+2b2）x2+2a2bx-a2b2=0．

设C（x1，y1）、D（x2，y2），∵a2=2b2，

∴x1+x2=-=-=-b，

x1•x2=-=-=-．

∴|CD|=|x1-x2|

=•

=•==3．

∴b2=2，则a2=4．

∴椭圆的方程为+=1．

题型：简答题

简答题

已知椭圆E：（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率为，A（﹣a，0），

B（0，b），且△ABF的面积为，设斜率为k的直线过点F，且与椭圆E相交于M、N两点．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若 ≤·≤，求k的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）∵离心率为，

∴a=2c，b=c．

∵△ABF的面积为，

∴，

∴c=1

∴a=2，

∴

∴椭圆E的方程为；

（Ⅱ）斜率为k的直线过点F，

设方程为y=k（x﹣1）与联立，

消元可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0

设M（，），N（x2，y2），

则+x2=，

∴y2=k2（﹣1）（x2﹣1）=

∴

=x2+2（+x2）+4+y2=

∵≤≤，

∴≤≤

∴

∴或

∴k的取值范围是．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C的焦点在x轴上，一个顶点的坐标是（0，1），离心率等于．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若=λ1，=λ2，求证：λ1+λ2为定值．

正确答案

（Ⅰ）设椭圆C的方程为+=1(a＞b＞0)，

则由题意知b=1．∴=．

即=．∴a2=5．

∴椭圆C的方程为+y2=1；

（Ⅱ）方法一：设A，B，M点的坐标分别为

A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），

又易知F点的坐标为（2，0）．

∵=λ1，∴（x1，y1-y0）=λ1（2-x1，-y1）．

∴x1=，y1=．

将A点坐标代入到椭圆方程中得：()2+()2=1，

去分母整理，得λ12+10λ1+5-5y02=0．

同理，由=λ2可得：λ22+10λ2+5-5y02=0．

∴λ1，λ2是方程x2+10x+5-5y02=0的两个根，

∴λ1+λ2=-10．

方法二：设A，B，M点的坐标分别为A

（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），

又易知F点的坐标为（2，0）．

显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，

则直线l的方程是y=k（x-2）．

将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，

消去y并整理得（1+5k2）x2-20k2x+20k2-5=0．

∴x1+x2=，x1x2=．

又∵=λ1，=λ2，

将各点坐标代入得λ1=，λ2=．

λ1+λ2=+=═-10．

题型：简答题

简答题

如图，椭圆C2+ =1的焦点为F1，F2，|A1B1|=，S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设n为过原点的直线，l是与n垂直相交与点P，与椭圆相交于A，B两点的直线||=1，是否存在上述直线l使•=0成立？若存在，求出直线l的方程；并说出；若不存在，请说明理由．

正确答案

（Ⅰ）由题意可知a2+b2=7，

∵S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2，∴a=2c．

解得a2=4，b2=3，c2=1．

∴椭圆C的方程为+=1．

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），假设使•=0成立的直线l存在．

（i）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点，且||=1得

=1，即m2=k2+1，由•=0得x1x2+y1y2=0，将y=kx+m代入椭圆得（3+4k2）x2+8kmx+（4m2-12）=0，x1+x2=，①，x1x2=，②

0=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2

把①②代入上式并化简得（1+k2）（4m2-12）-8k2m2+m2（3+4k2）=0，③

将m2=1+k2代入③并化简得-5（k2+1）=0矛盾．即此时直线l不存在．

（ii）当l垂直于x轴时，满足||=1的直线l的方程为x=1或x=-1，

由A、B两点的坐标为(1，)，(1，-)或(-1，)，(-1，-)．

当x=1时，•=(1，)• (1，-)=-≠0．

当x=-1时，•=(-1，)• (-1，-)=-≠0．

∴此时直线l也不存在．

综上所述，使•=0成立的直线l不成立．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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