热门试卷

（Ⅰ）由题意，可设抛物线方程为y2=2px（p＞0）．…（1分）

椭圆+=1中a2-b2=4-3=1，得c=1，∴抛物线的焦点为（1，0），

∴=1，∴p=2，∴抛物线D的方程为y2=4x．…（3分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

（i）直线l的方程为：y=x-4，…（4分）

联立，整理得：x2-12x+16=0…（5分）

∴x1+x2=12，x1x2=16

∴|AB|==4．…（7分）

（ⅱ） 设存在直线m：x=a满足题意，则圆心M(，)，过M作直线x=a的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G，可得：|EG|2=|MG|2-|ME|2，…（9分）

即|EG|2=|MA|2-|ME|2=-(-a)2

=y12++a(x1+4)-a2

=x1-4x1+a(x1+4)-a2=(a-3)x1+4a-a2…（11分）

当a=3时，|EG|2=3，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值2．…（12分）

因此存在直线m：x=3满足题意                        …（13分）

（Ⅰ）依题意可得解得a=3，c=3，b=3

∴所求椭圆M的方程为+=1

（Ⅱ）当θ≠，设直线AB的斜率为k=tanθ，焦点F（3，0），则直线AB的方程为

y=k（x-3）有消去y得

（1+2k2）x2-12k2x+18（k2-1）=0

设点A（x1，y1），B（x2，y2）有x1+x2=2k21+2k2，x1x2=

|AB|==

又因为k=tanθ=代入上式得

|AB|=

当θ=时，直线AB的方程为x=3，此时|AB|=3

而当θ=时，AB|==3

综上所述所以|AB|=|=

（I）设椭圆C1的半焦距为c，

则 2a=12

=

解得a=6，c=3，（3分）

于是b2=a2-c2=36-27=9，（4分）

因此所求椭圆C1的方程为：+=1（5分）

（II）点Ak的坐标为（-k，2），

则S△AkF1F2=×F1F2×2=×6×2=6．（10分）

（III）椭圆C2的方程为+=1，

设M（x，y），P（x，y1），其中x∈[-4，4]．

由已知得=e2，

而e=，故16（x2+y12）=9（x2+y2）．

由点P在椭圆C上得=，

化整理得9y2=112，（13分）

因此点M的轨迹方程为y=±(-4≤x≤4)，（14分）

轨迹是两条平行于x轴的线段．（15分）