抛物线的标准方程及图象
共391题

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抛物线的标准方程及图象
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题型：简答题

简答题

已知正方形的外接圆方程为x2+y2-24x+a=0，A、B、C、D按逆时针方向排列，正方形一边CD所在直线的方向向量为（3，1）．

（1）求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；

（2）若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程．

正确答案

（1）由（x-12）2+y2=144-a（a＜144），

可知圆心M的坐标为（12，0），

依题意，∠ABM=∠BAM=，kAB=，设MA、MB的斜率k满足||=1．

解得kAC=2，KBD=-．

∴所求BD方程为x+2y-12=0，AC方程为2x-y-24=0．

（2）设MB、MA的倾斜角分别为θ1，θ2，则tanθ1=2，tanθ2=-，

设圆半径为r，则A（12+r，r），B（12-r，r），

再设抛物线方程为y2=2px （p＞0），由于A，B两点在抛物线上，

∴∴r=4，p=2．

得抛物线方程为y2=4x．

题型：简答题

简答题

在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点（2，1）到两焦点的距离之和为4．

（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B两点，其中点A在x轴下方，且=3．求过O、A、B三点的圆的方程．

正确答案

（1）由题意，设椭圆C：+=1（a＞b＞0），则2a=4，a=2．

∵点（2，1）在椭圆+=1上，

∴+=1，解得b=，

∴所求椭圆的方程为+=1．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＜0，y2＞0），点F的坐标为F（3，0），

由=3，得3-x1=3（x2-3），-y1=3y2，即x1=-3x2+12，y1=-3y2①．

又A、B在椭圆C上，

∴+=1，+=1，

解得x2=，y2=，

∴B（，），代入①得A（2，-）．

设过O、A、B三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则将O、A、B三点的坐标代入得

F=0，6+2D-E+F=0，+D+E+F=0，

解得D=-，E=-，F=0，

故过O、A、B三点的圆的方程为x2+y2-x-y=0．

题型：填空题

填空题

过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为12，则P=______．

正确答案

抛物线的焦点坐标为F（0，），则过焦点斜率为1的直线方程为y=x+，

设A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1），由题意可知y1＞0，y2＞0

由，消去y得x2-2px-p2=0，

由韦达定理得，x1+x2=2p，x1x2=-p2

所以梯形ABCD的面积为：S=（y1+y2）（x2-x1）=（x1+x2+p）（x2-x1）=•3p=3p2

所以3p2=12，又p＞0，所以p=2

故答案为2．

题型：简答题

简答题

如图，抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．

（I）若点C的纵坐标为2，求|MN|；

（II）若|AF|2=|AM|•|AN|，求圆C的半径．

正确答案

（I）抛物线E：y2=4x的准线l：x=-1，

由点C的纵坐标为2，得C（1，2），故C到准线的距离d=2，又|OC|=，

∴|MN|=2=2=2．

（II）设C（，y0），则圆C的方程为（x-）2+（y-y0）2=+，

即x2-x+y2-2y0y=0，由x=-1得y2-2y0y+1+=0，

设M（-1，y1），N（-1，y2），则

，

由|AF|2=|AM|•|AN|，得|y1y2|=4，

∴1+=4，解得y0=±，此时△＞0

∴圆心C的坐标为（，±），|OC|2=，

从而|OC|=．

即圆C的半径为．

题型：填空题

填空题

已知抛物线C的顶点在原点，焦点在y轴上，且经过点（-1，4），则抛物线的准线方程为______．

正确答案

因为抛物线C的顶点在原点，焦点在y轴上，且经过点（-1，4），

设标准方程为x2=2py，

因为点（-1，4）在抛物线上，所以（-1）2=8p，

所以p=，

所以所求抛物线方程为：x2=y．

其准线方程为y=-．

故答案为：y=-．

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