热门试卷

（Ⅰ）设C1：+=1（a＞b＞0），其半焦距为c（c＞0）．则C2：y2=4cx．

由条件知(2b)2=2a(-c)，得a=2c．C1的右准线方程为x=，即x=4c．C2的准线方程为x=-c．

由条件知5c=15，所以c=3，故a=6，b=3．

从而C1：+=1，C2：y2=12x．

（Ⅱ）由题设知l：y=x-c，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）．

由（Ⅰ）知C1：+=1，即3x2+4y2=12c2．

由，知x3，x4满足7x2-8cx-8c2=0，

从而|PQ|==|x3-x4|=c．

由条件|PQ|=，得c=，故C2：y2=6x．

由得x2-9x+=0，所以x1+x2=9．

于是|MN|=|MF|+|FN|=x1+x2+2c=12．

（1）由椭圆方程得：a=2，e==

∴c=，∴b==1　　

∴椭圆方程为+y2=1；

由题意得：抛物线的焦点应为椭圆的上顶点，即（0，1）点，∴p=2

∴抛物线方程为x2=4y

（2）由题意可得p=1，∴抛物线方程为x2=2y…①

设抛物线上存在一点P（a，b），则抛物线在点P处的切线斜率为k=y′|x=a=a

∴过点P的切线方程为y-b=a（x-a），即y=ax-b

代入椭圆方程，可得（4a2+1）x2-8abx+4b2-4=0…②

设切线与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），故x1+x2=，x1x2=

∴•=x1x2+y1y2═(a2+1)x1x2-ab(x1+x2)+b2=

∵OA⊥OB，∴•=0

∴4a2-5b2+4=0

代入a2=2b可得5b2-8b-4=0

∴b=2或-（舍去）

b=2代入①得a=±2

将a，b代入②检验△=208＞0

∴存在这样的点P（±2，2）满足条件．

（1）∵椭圆的右焦点F（1，0），

∴=1，p=2，

∴抛物线C的方程为y2=4x，

其准线方程为x=-1．

（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为2x+b，

由，得y2-2y+2b=0，

∵直线l与抛物线有公共点，

∴△=4-8b≥0，即b≤，

∵直线OP与l的距离d=，

∴=，即b=±1．

从而b=-1．

∴符合题意的直线l存在，其方程为y=2x-1．

椭圆方程可化为+=1，

∵c2=25-16=9，c=3，

故中心（0，0），右焦点为（3，0）．

设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），

则=3，故p=6，

所以抛物线方程为y2=12x．