抛物线的标准方程及图象
共391题

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抛物线的标准方程及图象
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题型：简答题

简答题

已知抛物线y2=2px（p＞0），且准线与y轴的距离为2．

（1）求此抛物线的方程；

（2）点P为抛物线上一点，且其纵坐标为2，求点P到抛物线焦点的距离．

正确答案

（1）因为抛物线准线与y轴的距离为2，

所以p=4，…（3分）

抛物线的方程为y2=8x．…（6分）

（2）设P(x0，2)，则8=8x0，

所以x0=1，…（9分）

所以点P到抛物线焦点的距离为x0+=3．…（12分）

题型：简答题

简答题

已知直线l：y=1-2x交抛物线y2=mx于A、B两点，P为弦AB的中点．OP的斜率为-，求此抛物线的方程．

正确答案

设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）

令则4x2-（4+m）x+1=0

∴x1+x2=

∵y1+y2=2-2(x1+ x2)=-

∴p（，-）

∵OP的斜率为-

∴=-

∴m=

∴此抛物线的方程为y2=x

题型：简答题

简答题

根据下列条件，求出抛物线的标准方程．

（1）过点（-3，2）．

（2）焦点在x轴上，且抛物线上一点A（3，m）到焦点的距离为5．

正确答案

（1）∵抛物线过点（-3，2），

∴当焦点在x轴时设其标准方程为：y2=-2px（p＞0）

∴4=-2p×（-3），

解得p=，

∴其标准方程为y2=-x；

当焦点在y轴时，设其标准方程为：x2=2py（p＞0），

同理可得，p=，其标准方程为x2=y；

综上所述，过点（-3，2）的抛物线的标准方程为：y2=-x或x2=y；

（2）设该抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），

则其准线方程为：x=-，

∵抛物线上一点A（3，m）到焦点的距离为5，

∴由抛物线的定义知，3-（-）=5，

解得：p=4，

∴抛物线的标准方程为y2=8x．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：+=1的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动点，以PF为直径的圆恒与y轴相切．

（Ⅰ）求曲线D的方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的△APM？①点M在椭圆C上；②点O为APM的重心．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（若三角形ABC的三点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则其重心G的坐标为（，））

正确答案

（Ⅰ）设P（x，y），由题知F（1，0），所以以PF为直径的圆的圆心E(，y)，

则=|PF|=，

整理得y2=4x，为所求．

（Ⅱ）不存在，理由如下：

若这样的三角形存在，由题可设P(，y1)(y1≠0)，M(x2，y2)，

由条件①知+=1，

由条件②得++=，又因为点A（-2，0），

所以即+x2-2=0，

故-x22+x2-2=0，

解之得x2=2或x2=（舍），

当x2=2时，解得P（0，0）不合题意，

所以同时满足两个条件的三角形不存在．

题型：简答题

简答题

已知F(，0)为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点N（x0，y0）（y0＞0）为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线l与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且|NF|=，kNA•kNB=-2．

（I）求抛物线方程和N点坐标；

（II）判断直线l中，是否存在使得△MAB面积最小的直线l'，若存在，求出直线l'的方程和△MAB面积的最小值；若不存在，说明理由．

正确答案

（Ⅰ）由题意=，

∴p=1，

所以抛物线方程为y2=2x．

|NF|=x0+=，

x0=2，y02=4，

∵y0＞0，

∴y0=2，

∴N（2，2）．（4分）

（Ⅱ）由题意知直线的斜率不为0，

设直线l的方程为x=ty+b（t∈R）

联立方程得y2-2ty-2b=0，

设两个交点A(y1，)，B(，y2)（y1≠±2，y2≠±2）

∴，…（6分）

kPA•kPB=-==-2，

整理得b=2t+3…（8分）

此时△=4（t2+4t+6）＞0恒成立，

由此直线l的方程可化为x-3=t（y+2），

从而直线l过定点E（3，-2）…（9分）

因为M（2，-2），

所以M、E所在直线平行x轴

三角形MAB面积S=|ME||y1-y2|==，…（11分）

所以当t=-2时S有最小值为，

此时直线l'的方程为x+2y+1=0…（12分）

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