热门试卷

（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点 （-2，-4），

设它的标准方程为y2=-2px（p＞0）

∴16=4p，解得p=4，

∴y2=-8x．

（2）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是y轴，并且经过点 （-2，-4），

设它的标准方程为x2=-2py（p＞0）

∴4=-8p，

解得：p=-．

∴x2=-y

故答案为：y2=-8x或x2=-y．

解 （1）||=2；则=(x+1，y)，=(x-1，y)

由||•||-•=0，则2-2(x+1)=0，

化简整理得y2=4x

（2）由=λ•，得F、P1、P2三点共线，

设P1（x1，y1）、P2（x2，y2），直线P1P2的方程为：y=k（x-1）

代入y2=4x得：k2x2-2（k2+2）x+k2=0则x1•x2=1，x1+x2=

∴+=+==1

当P1P2垂直x轴时，结论照样成立．

（1）由题意知：|AQ|=|AF|，

∵∠PQF=90°，∴A为PF的中点，

∵F(，0)，  ∴ A(，1)，

且点A在抛物线上，代入得1=2p•⇒p=

所以抛物线方程为y2=2x．…（5分）

（2）设A（x，y），y2=2px，

根据题意：∠MAF为锐角⇒•＞0且m≠，

=(m-x，-y)， =(-x，-y)，•＞0⇒(x-m)(x-)+y2＞0⇒x2-(+m)x++y2＞0，

∵y2=2px，所以得x2+(-m)x+＞0对x≥0都成立

令f(x)=x2+(-m)x+=(x+-)2+-(-)2＞0

对x≥0都成立…（9分）

①若-≥0，即m≥时，只要使-(-)2＞0成立，

整理得：4m2-20mp+9p2＜0⇒＜m＜，且m≥，

所以≤m＜．…（11分）

②若-＜0，即m＜，只要使＞0成立，得m＞0

所以0＜m＜…（13分）

由①②得m的取值范围是0＜m＜且m≠．…（15分）

（1）设抛物线的方程为y2=4px，则其焦点为（p，0）

与直线方程4x+y-20=0联立，有：（-4x+20）2=4px

∴4x2-（p+40）x+100=0，且y=-4x+20

该方程的解为B，C两点的坐标（x2，y2），（x3，y3）

x2+x3=（1）

y2+y3=-4（x2+x3）+40=-p （2）

设A（x1，y1）

∵A在抛物线上

∴y12=4px1（3）

△ABC重心坐标为：（，）

∵重心为抛物线焦点

∴=p，=0

将（1），（2）代入，得：

x1+=3p，y1-p=0

与（3）联立，三个方程，x1，y1，p三个未知数，可解

解得：p=4

故抛物线的方程为y2=16x．

（2）设点M（a，b）  P（x4，y4）  Q（x5，y5）

①当直线L的斜率不存在时   即  x4=x5=a   且 a＞0

则：令  y4=4，y5=-4

∵∠POQ=90°∵=（a，-4）=（a，4）

∴•=a2-16a=0

解得：a=16   或  a=0（舍去）

②当直线L的斜率存在时  设斜率为k    则   直线L的方程为：

y-b=k（x-a）   （k≠0）

∴联立方程：

消去x 得：ky2-16y+16b-16ka=0

∴y4+y5=，y4×y5=

∴x4×x5=

∵∠POQ=90°

∴•=x4×x5+y4×y5=+=0

即：k2（a2-16a）+k（16b-2ab）+b2=0对任意的k≠0都恒成立

∴有方程组：且a≠0

∴解得：a=16，b=0

∴点M（16，0）

综上所述：存在定点M，使得以线段PQ为直径的圆经过坐标原点，

点M的坐标为：（16，0）