热门试卷

（1）由题意可可设抛物线的方程y2=2px（p＞0）

∵抛物线C过点P（4，4）∴p=2

∴y2=4x

（2）当 x1≠x2时，kOA=kON，所以此时A、O、N三点共线；当 x1=x2时，不难得到ABNM为矩形，且有对称性可知点O为对角线AN、BM的交点，所以此时A、O、N三点共线．

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB过焦点F且F（1，0），

当 x1≠x2时，AB所在的直线的方程y=k（x-1），k≠0，代入抛物线方程可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

所以

当 x1=x2时，AB所在的直线垂直于x轴，不难求得AF=EF=EB=2，故此时∠AEB=90°

综上，可提出推论“∠AEB只能是锐角或直角”

（I）∵|PF|=4，∴xP+=4，

∴P点的坐标是（4-，4），

∴有16=2P（4-）⇒P=4，

∴抛物线方程是y2=8x．

（II）由（I）知点P的坐标为（2，4），

∵∠APB的角平分线与x轴垂直，∴PA、PB的倾斜角互补，即PA、PB的斜率互为相反数，

设PA的斜率为k，则PA：y-4=k（x-2），k≠0

⇒y2-y-16+=0，方程的解为4、y1，

由韦达定理得：y1+4=，即y1=-4，同理y2=--4，

kAB===-1，

设AB：y=-x+b，⇒y2+8y-8b=0，

由韦达定理得：y1+y2=-8，y1y2=-8b，

|AB|=|y1-y2|=8，点P到直线AB的距离d=，

S△ABP=2×，设b+2=t

则（b+2）（b2-12b+36）=t3-32t-64-（3t-8）（t-8），

∵△=64+32b＞0⇒b＞-2，y1•y2=-8b≥0⇒b≤0，∴-2＜b≤0，

设t=b+2∈（0，2]，

则（b+2）（b2-12b+36）=t3-16t2+64t=f（t），

f′（t）=3t2-32t-64=（3t-8）（t-8），

由t∈（0，2]知f′（t）＞0，∴f（t）在（0，2]上为增函数，

∴f（t）最大=f（2）=72，

∴△PAB的面积的最大值为2×=24，

此时b=0，直线AB的方程为x+y=0．

当抛物线焦点在x轴上时，设其方程为y2=2px（p＞0）

代入A点坐标，则有：2pm=9  ①

∵抛物线上一点A（m，-3）到焦点F的距离为5

∴m+=5②

①②两式联立解得：

（1）m=，p=9，此时抛物线方程为y2=18x；

（2）m=，p=1，此时抛物线方程为y2=2x．

∵抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，其上一点M（3，m）

∴设抛物线方程为y2=2px

∵其上一点M（3，m）到焦点的距离为5，

∴3+=5，可得p=4

∴抛物线方程为y2=8x．