热门试卷

（本小题满分14分）

（Ⅰ）将E（2，2）代入y2=2px，得p=1，

所以抛物线方程为y2=2x，焦点坐标为（，0）．…（3分）

（Ⅱ）证明：设A（，y1），B（，y2），M（xM，yM），N（xN，yN），

因为直线l不经过点E，所以直线l一定有斜率

设直线l方程为y=k（x-2），

与抛物线方程联立得到，消去x，得：

ky2-2y-4k=0，

则由韦达定理得：

y1y2=-4，y1+y2=，…（6分）

直线AE的方程为：y-2=(x-2)，

即y=(x-2)+2，

令x=-2，得yM=，…（9分）

同理可得：yN=，…（10分）

又∵=(-2，yM)，=(-2，-)，

所以•=4+yMyN=4+•

=4+

=4+=0…（13分）

所以OM⊥ON，即∠MON为定值…（14分）．

（1）∵|AF|=2，∴由抛物线的定义，可得1+=2，∴p=2

∴抛物线C的方程为x2=4y；

（2）抛物线C的焦点为F（0，1），设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，），B（x2，），M（x0，）

直线方程代入抛物线方程可得x2-4kx-4=0

∴x1+x2=4k，x1x2=-4

∵MA⊥MB，∴•=0

∴（x1-x0）（x2-x0）+(-)(-)=0

∵M不与A，B重合，∴（x1-x0）（x2-x0）≠0

∴1+（x1+x0）（x2+x0）=0

∴x1x2+（x1+x2）x0+-16=0

∴+4kx0+12=0

∴△=16k2-48≥0

∴k≤-或k≥．

（1）设抛物线方程为y2=ax

∵抛物线C经过点（3，6），

∴36=3a，∴a=12

∴抛物线C的标准方程为y2=12x；

（2）将焦点（3，0）代入y=kx-3得直线l方程为y=x-3，

由消去x可得y2-12y+36=0，∴y=6±6

∴x=9±6

∴|AB|==24．

（Ⅰ）设N（x，y），则由+=0，得P为MN的中点．

∴P(0，)，M（-x，0）．

∴=(-x，-)，=(1，-)．

∴•=-x+=0，即y2=4x．

∴动点N的轨迹E的方程y2=4x．

（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1），由，消去x得y2-y-4=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则 y1+y2=，y1y2=-4．

假设存在点C（m，0）满足条件，则=(x1-m，y1)，=(x2-m，y2)，

∴•=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2

=()2-m()+m2-4

=-[(y1+y2)2-2y1y2]+m2-3

=m2-m(+2)-3．

∵△=(+2)2+12＞0，

∴关于m的方程m2-m(+2)-3=0有解．

∴假设成立，即在x轴上存在点C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立．