热门试卷

设抛物线的方程为x2=-2py，则由，∴2x2-3px-pm=0

∴△=9p2+8pm=0，∴m=-p

∵点M到直线l：3x+4y-14=0的距离的最小值为1，

∴d==1

∴p=8或p=（舍去），

∴抛物线方程为：x2=-16y

（Ⅰ）依题意设抛物线C：x2=2py（p＞0），

因为点P到焦点F的距离为5，所以点P到准线y=-的距离为5．

因为P（x0，4），所以由抛物线准线方程可得=1，∴p=2．

所以抛物线的标准方程为x2=4y．                   …（4分）

即y=x2，所以 y′=x，点P（±4，4），

所以y′|x=-4=×(-4)=-2，y′|x=4=×4=2．

所以点P（-4，4）处抛物线切线方程为y-4=-2（x+4），即2x+y+4=0；点P（4，4）处抛物线切线方程为y-4=2（x-4），即2x-y-4=0．

所以P点处抛物线切线方程为2x+y+4=0，或2x-y-4=0．   …（7分）

（Ⅱ）设直线l的方程为y=2x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，消y得x2-8x-4m=0，△=64+16m＞0．

所以x1+x2=8，x1x2=-4m，

所以=4，=8+m，

即AB的中点为Q（4，8+m）．

所以AB的垂直平分线方程为y-(8+m)=-(x-4)．

因为四边形AMBN为菱形，所以M（0，m+10），

因为M，N关于Q（4，8+m）对称，所以N点坐标为N（8，m+6），

因为N在抛物线上，所以64=4×（m+6），即m=10，

所以直线l的方程为y=2x+10．       …（14分）

（1）由题意可知抛物线的开口向右，且-p=-

∴p=

∴抛物线的标准方程为y2=x…（5分）   

 （2）由抛物线的性质可知(，0)…（10分）

（Ⅰ）由点A（4，8），在抛物线y2=2px上解得p=8，

∴抛物线的方程为y2=16x，焦点F的坐标（4，0）

（Ⅱ）∵△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合

由B（x1，y1），C（x2，y2）得：

∴x1+x2=8，y1+y2=-8，M点的坐标为（4，-4）

由B，C在抛物线y2=16x上，两方程作差y12-y22=16（x1-x2）

∴直线BC的斜率k====-2

∴BC所在直线的方程为y+4=-2（x-4），即2x+y-4=0