- 抛物线的标准方程及图象
- 共391题
一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m．若水面下降1m，求水面的宽度．
正确答案
如图建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2=-2py，
∵水面离拱顶2m时，水面宽4m
∴点（2，-2）在抛物线上，所以p=1，x2=-2y，
∵水面下降1m，即y=-3
而y=-3时x=±
∴若水面下降1m，水面的宽度为2
已知定点A（-2，-4），过点A作倾斜角为45°的直线l，交抛物线y2=2px（p＞0）于B、C两点，且|BC|=2
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的抛物线上是否存在点D，使得|DB|=|DC|成立？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
正确答案
（1）直线l方程为y=x-2，将其代入y2=2px，并整理，得
x2-2（2+p）x+4=0…①，
∵p＞0，∴△=4（2+p）2-16＞0，
设B（x1，y1）、C（x2，y2），∴x1+x2=4+2p，x1•x2=4，
∵|BC|=2
∴2
（2）假设在抛物线y2=2x上存在点D（x3，y3），使得|DB|=|DC|成立，记线段BC中点为E（x0，y0），
则|DB|=|DC|⇔DE⊥BC⇔kDE=-
当p=1时，①式成为x2-6x+4=0，
∴x0=
∴点D（x3，y3）应满足
∴存在点D（2，2）或（8，-4），使得|DB|=|DC|成立．
已知点P到点F（-3，0）的距离比它到直线x=2的距离大1，则点P满足的方程为______．
正确答案
∵点P到直线x=2的距离比它到点（3，0）的距离少1，
∴点P到直线x=3的距离和它到点（-3，0）的距离相等．
根据抛物线的定义可得点P的轨迹是以点（-3，0）为焦点，以直线x=3为准线的抛物线，
∴p=6，抛物线的标准方程为 y2=-12x，
故答案为 y2=-12x．
在直角坐标系中，有四点A（-1，2），B （0，1），C （1，2），D （x，y）同时位于一条拋物线上，则x与y满足的关系式是______．
正确答案
由于A（-1，2），C （1，2），两点关于直线x=0对称，
根据抛物线的对称性可知：
此抛物线的对称轴是y轴，故设抛物线的方程为
y=ax2+c，
将A（-1，2），B （0，1），两点的坐标代入得：
∴
则x与y满足的关系式是y=x2+1．
故答案为：y=x2+1．
已知点A（-2，3）到抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的距离为5，
（1）求点F的坐标（用p表示）；
（2）求抛物线的方程．
正确答案
（1）由题意，抛物线的开口向右，焦点在x轴的正半轴上，故可求焦点F坐标为(
（2）由题意，
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