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题型：简答题

简答题

某抛物线型拱桥的跨度是20米，拱高4米．在建桥时每隔4米需要一支柱支撑，其中最长的支柱是多少米？

正确答案

建立如图所示的直角坐标系，

设抛物线方程为x2=-2py（p＞0），

∵过定点B（10，-4），

代入x2=-2py，得p=．

∴x2=-25y．

当x=2时，y=，

∴最长支柱长为4-|y|=4-=3.84（m），

故在建桥时每隔4米需要一支柱支撑，其中最长的支柱是：3.84米．

题型：简答题

简答题

已知抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，且抛物线上一点M到其焦点的最小距离为，抛物E与直ly=k（x+1）（k∈R）相交于A、B两点．

（1）求抛物线E的方程；

（2）当△OAB的面积等时，求k的值．

正确答案

（1）由题意得=，∴p=，∴抛物线E的方程y2=-x；

（2）由方程组消去x后，得ky2+y-k=0，

A（x1，y1），B（x2，y2），

则有y1+y2=-，y1y2=-1，

∴|AB|=•，h=d=，

∴S==，

∴k=±．

题型：填空题

填空题

已知点F（1，0），直线l：x=-1，点P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且•=•，则动点P的轨迹C的方程是______．

正确答案

设点P（x，y）则Q（-1，y），

由•=•，得（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），

化简得y2=4x．

故答案为：y2=4x

题型：填空题

填空题

过点P（-2，-4）的抛物线的标准方程为______．

正确答案

点P（-2，-4）是第三象限的点

当抛物线的焦点在x轴的负半轴时，设抛物线的方程为y2=-2px（p＞0）

∴16=4p，p=4，即抛物线的方程是y2=-8x

当抛物线的焦点在y轴的负半轴时，设抛物线的方程为x2=-2py（p＞0）

∴4=8p，p=，即抛物线的方程是x2=-y．

故答案为：y2=-8x或x2=-y

题型：简答题

简答题

已知直线l：y=x-，抛物线C：y2=2px（p＞0）的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上，求抛物线C的方程．

正确答案

抛物点P（a，b），线C：y2=2px（p＞0）的顶点O，设O关于直线l的对称点P（a，b），则有解得，

点P（a，b）在该抛物线上，所以4=2p．∴抛物线C的方程是y2=4x

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