抛物线的标准方程及图象
共391题

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抛物线的标准方程及图象
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题型：填空题

填空题

在平面直角坐标系xOy中，焦点为F（5，0）的抛物线的标准方程是______．

正确答案

设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），则

因为焦点为F（5，0），

所以=5，

所以p=10，

所以抛物线C的标准方程为y2=20x．

故答案为：y2=20x．

题型：填空题

填空题

抛物线y2=4mx（m＞0）的焦点到双曲线-=1的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的方程为______．

正确答案

抛物线y2=4mx（m＞0）的焦点为F（m，0），

双曲线-=1的一条渐近线为3x-4y=0，

由题意知=3

∴m=5．

∴抛物线的方程为y2=20x

故答案为：y2=20x．

题型：填空题

填空题

已知抛物线C以F（0，1）为焦点，x轴为准线，则此抛物线的方程是______．

正确答案

设P（x，y）为所求抛物线上的任意一点，

设点P到x轴的距离为d，由抛物线的定义则PF=d，

故可得=|y-0|，

平方化简可得x2=2y-1，

故答案为：x2=2y-1

题型：简答题

简答题

已知抛物线W：y=ax2经过点A（2，1），过A作倾斜角互补的两条不同直线l1，l2．

（Ⅰ）求抛物线W的方程及准线方程；

（Ⅱ）当直线l1与抛物线W相切时，求直线l2的方程

（Ⅲ）设直线l1，l2分别交抛物线W于B，C两点（均不与A重合），若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程．

正确答案

（Ⅰ）由于A（2，1）在抛物线y=ax2上，所以1=4a，即a=．

故所求抛物线的方程为y=x2，其准线方程为y=-1．

（Ⅱ）当直线l1与抛物线相切时，由y'|x=2=1，可知直线l1的斜率为1，其倾斜角为45°，

所以直线l2的倾斜角为135°，故直线l2的斜率为-1，所以l2的方程为y=-x+3

（Ⅲ）不妨设直线AB的方程为y-1=k（x-2）（k＞0），

由得x2-4kx+8k-4=0，

易知该方程有一个根为2，所以另一个根为4k-2，

所以点B的坐标为（4k-2，4k2-4k+1），

同理可得C点坐标为（-4k-2，4k2+4k+1）．

所以|BC|===8k，．

线段BC的中点为（-2，4k2+1），因为以BC为直径的圆与准线y=-1相切，

所以4k2+1-(-1)=4k，由于k＞0，解得k=．

此时，点B的坐标为(2-2，3-2)，点C的坐标为(-2-2，3+2)，

直线BC的斜率为=-1，

所以，BC的方程为y-(3-2)=-[x-(2-2)]，即x+y-1=0．

题型：简答题

简答题

已知抛物线y2=2px（p＞0），点P（，），线段OP的垂直平分线经过抛物线的焦点F，经过F作两条互相垂直的弦AB、CD、，设AB、CD的重点分别为M、N

（1）求抛物线的方程；

（2）直线MN是否经过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，试说明理由．

正确答案

（1）由p（，），O（0，0），

∴kOP=，线段OP的中点为：（，），

∴OP的垂直平分线所在直线方程y-=-2(x-)，即2x+y-2=0．

令y=0，解得：x=1，故得：p=2

抛物线方程为：y2=4x…..（4分）

（2）假设直线MN国定点

设A（xA，yA），B （xB，yB），M（xM，yM），

设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1）

与抛物线联立可得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0

由韦达定理：xA+xB=2+

∴xM=+1

∴点M的坐标为（+1，-2k）

当k≠±1

直线MN的斜率为：

方程为：y+2k=（x-2k2-1

整理得：y（1-k2）=k（x-3）

直线恒经过定点（3，0）

当k=±1时，直线MN方程为X=3，经过（3，0）

综上，不论k为何值，直线MN恒过定点（3，0）…（12分）

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