- 抛物线的标准方程及图象
- 共391题
经过点P（4，-2）的抛物线的标准方程为______．
正确答案
由题意，设抛物线方程为y2=ax或x2=by，则
∵抛物线经过点P（4，-2）
∴（-2）2=4a或42=-2b，
∴a=1或b=-8
∴抛物线方程为y2=x或x2=-8y
故答案为：y2=x或x2=-8y
设点P是曲线C：x2=2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为
（1）求曲线C的方程；
（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
正确答案
（1）依题意，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为
∴1+
所以曲线C的方程为x2=y．…（4分）
（2）由题意直线PQ的方程为：y=k（x-1）+1，则点M（1-
联立方程组
解得Q（k-1，（k-1）2）．…（6分）
所以得直线QN的方程为y-（k-1）2）=-
代入曲线x2=y，得x2+
解得N（1-
所以直线MN的斜率kMN=
∵过点N的切线的斜率k′=2(1-
∴由题意有-
∴解得k=
故存在实数k=
顶点在原点，焦点是F（0，5）的抛物线方程是______．
正确答案
∵顶点在原点，焦点是F（0，5）的抛物线开口向上，
且
∴它的方程为：x2=20y．
故答案为：x2=20y．
顶点在原点，且过点（-2，4）的抛物线的标准方程是______．
正确答案
由题意设抛物线方程为x2=2py或y2=-2p′x（p＞0，p′＞0）
∵抛物线过点（-2，4）
∴22=2p×4或42=-2p′×（-2）
∴2p=1或2p′=8
∴x2=y或y2=-8x
故答案为：x2=y或y2=-8x．
以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且过点P（-2，-4）的抛物线标准方程为______．
正确答案
（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点 （-2，-4），
设它的标准方程为y2=-2px（p＞0）
∴16=4p，解得p=4，
∴y2=-8x．
（2）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是y轴，并且经过点 （-2，-4），
设它的标准方程为x2=-2py（p＞0）
∴4=-8p，
解得：p=-
∴x2=-y
故答案为：y2=-8x或x2=-y．
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