- 抛物线的标准方程及图象
- 共391题
已知点M（0，-1），F（0，1），过点M的直线l与曲线y=
（1）求直线l的方程；
（2）求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程。
正确答案
解：（1）因为f′（2）=
所以直线l的斜率为0，所以直线l的方程为y=-1；
（2）因为抛物线以点F（0，1）为焦点，直线y=-1为准线，
设抛物线的方程为x2=2py，
则
故抛物线C的方程为x2=4y。
已知抛物线的焦点F在y轴上，抛物线上一点A(a，4)到准线的距离是5，过点F的直线与抛物线交于M、N两点，过M、N两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T，
(Ⅰ)求抛物线的标准方程；
(Ⅱ)求
( Ⅲ)求证：
正确答案
(Ⅰ)解：由题意可设抛物线的方程为x2=2py(p≠0)，
因为点A(a，4)在抛物线上，所以p＞0，
又点A(a，4)到抛物线准线的距离是5，
所以，
所以抛物线的标准方程为x2=4y。
(Ⅱ)解：点F为抛物线的焦点，则F(0，1)，
依题意可知直线MN不与x轴垂直，
所以设直线MN的方程为y=kx+1，
因为MN过焦点F，所以判别式大于0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1+x2=4k，x1x2=-4，
由于
切线MT的方程为
切线NT的方程为
由①，②得
则
所以，
(Ⅲ)证明：
由抛物线的定义，知
则
所以，
即
如图，在平面直角坐标系xoy中，设点F(0,p)（p＞0），直线l:y=-p，点P在直线l上移动，R是线段PF与x轴的交点, 过R、P分别作直线l1、l2，使l1⊥PF，l2⊥l 
（Ⅰ）求动点Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）在直线l上任取一点M做曲线C的两条切线，设切点为A、B，求证：直线AB恒过一定点；
（Ⅲ）对（Ⅱ）求证：当直线MA,MF,MB的斜率存在时，直线MA,MF,MB的斜率的倒数成等差数列．
正确答案
解：(Ⅰ)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，
∴RQ是线段FP的垂直平分线．
∴|PQ|=|QF|．
故动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：
（Ⅱ）设
由
∴两条切线方程为
对于方程①，代入点M(m,-p)得，
又
整理得：
同理对方程②有
.∴
设直线AB的斜率为k，
所以直线AB的方程为
展开得：
代入③得：
∴直线恒过定点(0.p).
(Ⅲ) 证明：由（Ⅱ）的结论，设（0.p）， 
∴
∴
=
又∵
所以
如图，三定点A（2，1），B（0，-1），C（-2，1）；三动点D，E，M满足
（1）求动直线DE斜率的变化范围；
（2）求动点M的轨迹方程。
正确答案
解：（1）如图，设D（xD，yD）， E（xE，yE），M（x，y）
由
∴
同理
∴
∵
∴
（2）∵
∴
∴
∴
即
∵
∴
即所求轨迹方程为
已知椭圆C1：
（1）求C1，C2的方程；
（2）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l：y=kx与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E，
①证明：
②记△MDE的面积为S，试把S表示成k的函数，并求S的最大值。
正确答案
解：（1）由已知
∴
在y=x2-b中，令y=0，得
∴
由①②得，
∴
（2）①由
设
而M（0，-1），
∴
∴MA⊥MB，
∴MD⊥ME，
∴
②设
∵A在
∴
∴
∴直线AM方程为：
代入
∴
同理
∴
由①知，
∴
令
∴
又
∴
当t=2，即k=0时，
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