- 抛物线的标准方程及图象
- 共391题
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如下图所示），
（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。
正确答案
解：（Ⅰ）设△AOB的重心为G（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），
则
∵OA⊥OB，
∴
又点A，B在抛物线上，有
代入（2）化简得
∴
所以重心为G的轨迹方程为
（Ⅱ）
由（Ⅰ）得
当且仅当
所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1。
已知椭圆C1：
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（3）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．
正确答案
解：（1）
∵直线l：x-y+2=0与圆
∴
∴椭圆C1的方程是
（2）∵MP=MF2，∴动点M到定直线l2：x=-1的距离等于它到定点F2（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹C是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，
∴点M的轨迹C3的方程为
（3）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，
则直线AC的方程为y=k（x-1），
联立
所以
由于直线BD的斜率为
因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为
由
当
易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S=4；
综上可得，四边形ABCD面积的最小值为
设b＞0，椭圆方程为
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
正确答案
解：（1）由
当y=b+2得x=±4，
∴G点的坐标为(4，b+2)，
过点G的切线方程为y-（b+2）=x-4即y=x+b-2，
令y=0得x=2-b，
∴F1点的坐标为（2-b，0），
由椭圆方程得F1点的坐标为（b，0），
∴2-b=b即b=1，
即椭圆和抛物线的方程分别为
（2）∵过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P，
∴以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个，
同理∴以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个。
若以∠PAB为直角，设P点坐标为
关于x2的二次方程有一大于零的解，
∴x有两解，即以∠PAB为直角的Rt△ABP有两个，
因此抛物线上存在四个点使得△ABP为直角三角形。
动圆M过点（2，0），且被直线x+2=0截得的弦长为2，
（1）求圆心M的轨迹C的方程；
（2）直线l与曲线C交于A、B，弦AB的中点坐标是（3，-2），求直线l的方程。
正确答案
解：（1）设点M的坐标为（x，y），
根据题意得（
整理得y2=8x+1，这就是所求的轨迹方程；
（2）设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
则y12=8x1+1，y22=8x2+1，
两式相减得
由题意可知，y1+y2=-4，
所以直线l的斜率k=-2，
由点斜式可得直线l的方程为y+2=-2（x-3），即2x+y-4=0，
将y=4-2x代入y2=8x+1得4x2-24x+15=0，
其△＞0，
所以，弦AB存在，所求的直线方程为2x+y-4=0。
已知点C（1，0），点A，B是⊙O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足
（1）求点P的轨迹T的方程；
（2）试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由。
正确答案
解：（1）连接CP，由
∴
由垂径定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2，即|OP|2+|CP|2=9
设点P（x，y），有（x2+y2）+[（x-1）2+y2]=9，
化简，得到x2-x+y2=4。
（2）根据抛物线的定义，到直线x=-1的距离等于
到点C（1，0）的距离的点都在抛物线y2=2px上，
其中
∴p=2，故抛物线方程为y2=4x
由方程组
得x2+3x-4=0，
解得x1=1，x2=-4
由于x≥0，故取x=1，此时y=±2
故满足条件的点存在，其坐标为（1，-2）和（1，2）。
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