- 抛物线的标准方程及图象
- 共391题
已知椭圆
（Ⅰ）求抛物线C的方程和点M的坐标；
（Ⅱ）过F2作抛物线C的两条互相垂直的弦AB、DE，设弦AB、DE的中点分别为F、N，求证直线FN恒过定点。
正确答案
解：（Ⅰ）由椭圆方程得半焦距
所以椭圆的焦点为
又抛物线C的焦点为
设
代入抛物线C得
∴
∴
∴
（Ⅱ）设AB的方程为x=ty+1，代入
设
所以
由两点式得FN的方程为
当y=0时，x=3，所以直线FN恒过定点（3，0）。
椭圆
正确答案
（3，0）；y2=12x
椭圆
正确答案
(3，0)；y2=12x
设椭圆C1：
(Ⅰ)若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；
(Ⅱ)设A(a，b) ，
b)，且△QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程。
正确答案
解：(Ⅰ)因为抛物线C2经过椭圆C1的两个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)，
可得c2=b2，由a2=b2+c2=2c2，有
所以椭圆C1的离心率
(Ⅱ)由题设可知M，N关于y轴对称，设M(-x1，y1)，N(x1，y1)，(x1＞0)，
则由△AMN的垂心为B，有
所以
由于点N(x1，y1)在C2上，故有x12+by1=b2， ②
由①②得
故
所以△QMN的重心为
因重心在C2上得
又因为M，N在C1上，所以
所以椭圆C1的方程为
已知抛物线和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，抛物线的顶点为坐标原点，则双曲线的标准方程是______．
正确答案
设抛物线方程为y2=2px（p＞0），
将M（1，2）代入y2=2px，得P=2．
∴抛物线方程为y2=4x，焦点为F（1，0）
由题意知双曲线的焦点为F1（-1，0），F2（1，0）
∴c=1
对于双曲线，2a=||MF1|-|MF2||=2
∴a=
a2=3-2
∴双曲线方程为
故答案为：
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