- 抛物线的标准方程及图象
- 共391题
以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（ ）
正确答案
如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的像就是n，记作f（m）=n．则在下列说法中正确命题的个数为（ ）
①f（
正确答案
附加题：已知圆方程x2+y2+2y=0．
（1）以圆心为焦点，顶点在原点的抛物线方程是______．
（2）求x2y2的取值范围得______．
正确答案
（1）根据顶点在坐标原点，焦点是 （-1，0）的求得
抛物线y2=2px中参数p，p=2
∴抛物线方程为 y2=-4x．
故答案为 y2=-4x．
（2）z=x2y2=y2（-y2-2y）=-y4-2y3（其中-2≤y≤0），
当y=-
当y=-2或0时，
z=0．
故x2y2∈[0，
设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（O为坐标原点），点P到定点M(0，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线l：y=kx+1与点P的轨迹相交于A、B两点，且|AB|=2
（3）设点P的轨迹曲线为C，点Q（x0，y0）（x0≤1）是曲线C上的一点，求以点Q为切点的曲线C的切线方程及切线倾斜角的取值范围．
正确答案
（1）过P作x轴垂线且垂足为N，由题意可知|PM|-|PN|=
而y≥0，∴|PN|=y，∴
化简得x2=2y（y≥0）为所求的方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
得x2-2kx-2=0，
∴x1+x2=2k，
x1x2=-2|AB|=
∴k4+3k2-4=0，
而k2≥0，
∴k2=1，
∴k=±1．
（3）因为Q（x0，y0）在曲线C上，
∴x02=2y0，
∴切点Q(x0，
又y=
∴切线斜率k=x0
则切线方程为y-
即2x0x-2y-x02=0为所求切线方程，
又x0≤1，
∴切线斜率k≤1，
∴倾斜角取值范围为[0，
某地兴建一休闲商业广场，欲在如图所示的一块不规则用地规划建成一个矩形的商业楼区，余下作为休闲区域，已知AB⊥BC，OA
正确答案
解：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，则C（2，4）
设抛物线方程为 x2=2py，代入点C（2，4）得
所以抛物线C方程为y=x2（0≤x≤2）
设P（x，x2），|PQ|=2+x，|PN|=4﹣x2S=|PQ|×|PN|=（2+x）（4﹣x2）=8﹣x3﹣2x2+4x
由S'=﹣3x2﹣4x+4=0，得
因为0≤x＜2，所以
当
当
所以，当
此时，
故把商业楼区规划成长为
扫码查看完整答案与解析