热门试卷

解：（Ⅰ）设点P（x，y），则Q（-1，y），

由得：(x+1，0)·(2，-y)=(x-1，y)·(-2，y)，

化简得C：y2=4x。

（Ⅱ）（1）设直线AB的方程为：x=my+1(m≠0)，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

又M（-1，-），

联立方程组，消去x得：y2-4my-4=0，

△=(-4m)2+12＞0，

，

由，得，

整理得，

∴。

（2）=（）2|y1-yM||y2-yM|

=(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)|+yM2|

=(1+m2)|-4+×4m+|

==4(2+m2+)，

当且仅当，即m=1时等号成立，

所以的最小值为16。

解：（1）过P作PP1⊥l于P1，

则|PA|+|PP1|=|PA|+|PF|≥|AF|

当P，A，F共线时，|PA|+|PP1|取最小值

解得p=6，或p=2

当p=6时，抛物线C的方程为x2=12y，

此时，点A与点F在抛物线C同侧，这与已知不符

∴p=2，

抛物线C的方程为x2=4y。

（2）①设直线PQ的方程为y=kx-1，

由消去y，整理得x2-4kx+4=0，

由Δ=16k2-16>0，得|k|>1

由P（x1，y1），Q（x2，y2），

则Q'（-x2，y2），x1+x2=4k，x1·x2=4

∴Q'，F，P共线

②

=|x1+x2|=4|k|，

∵|k|>1

∴S>1。

解：（1）由抛物线的定义，得，解得p=2

故抛物线C的方程为x2=4y。

（2）（i）依题意知，过点F'（0，-1）且与曲线C相切的直线的斜率存在，设其方程为y=kx-1，

由得x2-4kx+4=0

令Δ=0得k=±1

故所求的两条切线分别为l1：y=x-1；l2：y=-x-1

设l1交x轴于点A，l2交x轴于点B

由得A（1，0），

由得B（-1，0）

设△ABF'的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则

解得

故△ABF的外接圆方程为x2+y2=1，它过点F（0，1）。

（ii）命题：设F'为抛物线x2=2py外一点，若过点F'作抛物线的两条切线l1，l2，分别交x轴于A，B两点，则△ABF'的外接圆过此抛物线的焦点F，

证明：设l1，l2分别切抛物线x2=2py于P1（x1，y1），P2（x2，y2），

则x1≠0，x2≠0

∵y'=，故l1，l2的方程分别为（x-x1）和y-y2=

由得

由得

由得F'

AB的垂直平分线方程为

AF′的垂直平分线方程为

它们的交点为

又，

故AF的中点为

所以，

∴。

解：（Ⅰ）设抛物线Q1的方程为x2=2py（p＞0），

由过点（1，2）得4=2p，解得p=2，

∴Q1：x2=4y，

抛物线Q2与Q1关于x轴对称，故抛物线Q2的方程为x2=-4y；

（Ⅱ）由题意知AB的斜率必存在且过焦点，

设AB：y=kx+1，联立消y得x2-4kx-4=0，

根据韦达定理有：x1+x2=4k，x1x2=-4，

∵抛物线Q1的方程为，

∴，

∴，

，

∴，同理可得l2：，

∵N（m2，n2）在直线l1上，且，

∴，

，

∴

代入上式得，

两边同乘以，得，

而，故有，

即S（s，t）满足l2的方程，

故点S恰在直线l2上。