热门试卷

解：（1）由题意设

由得，则

所以

因此直线MA的方程为　　　　　　　　

直线MB的方程为

所以 ①

②

由①、②得　　

因此，即

所以A、M、B三点的横坐标成等差数列。

（2）解：由（1）知，当x0=2时，将其代入①、②并整理得：

 ，

所以，x1、x2是方程的两根，

因此

又

所以

由弦长公式得

又，

所以p=1或p=2，

因此所求抛物线方程为或。

（3）解：设D（x3，y3），由题意得C（x1+ x2，y1+ y2），

则CD的中点坐标为 　

设直线AB的方程为 　

由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，

代入得 　

若D（x3，y3）在抛物线上，则

因此，x3=0或x3=2x0即D（0，0）或

（i）当x0=0时，则，此时，点M（0，-2p）适合题意；

（ii）当，对于D（0，0），此时

又，AB⊥CD，

所以

即矛盾

对于，因为此时直线CD平行于y轴，

又

所以，直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，

所以时，不存在符合题意的M点

综上所述，仅存在一点M（0，-2p）适合题意。

解：（ I）∵直线（参数t∈R），

∴x=y+4，

∴直线l：y=x﹣4，

∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．

∴曲线C的极坐标方程为ρ2sin2θ=4ρcosθ．

曲线C：y2=4x，

（ II）设A（x1，y1），B（x2，y2），

由消去y得x2﹣12x+16=0，

∴x1+x2=12，x1x2=16，

∴y1y2=（x1﹣4）（x2﹣4）=x1x2﹣4（x1+x2）+16

∴=x1 x2+y1 y2=2x1 x2﹣4（x1+x2）+16=0．

解：（1）如图，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，

∵

∴

∴，即

另一种情况（如图2），即点M和A位于OP的同侧

因为MQ为线段OP的垂直平分线

∴

又∵

∴

因此M在x轴上，此时，记M（x，0），设P（-2，a）为l上任意点（a∈R）

由即得

∴点M（x，0）的轨迹方程为y=0，x≤-1②

综合①②得，点M的轨迹E的方程为；

（2）由（1）知，轨迹E的方程由E1和E2两部分组成

当时，过T做垂直于L的直线，垂足为T′，交E1于点

再过H做垂直于L的直线，交l于H

∴

∴（该等号仅当H′与T′重合（或H与D重合）时取得）

当时，则

综合可得的最小值为3，此时点H；

（3）由图3可知，直线l1的斜率k不可能为0

设

∴，代入E1的方程得

∴

∴l1与E中的E1有且仅有两个不同的交点

又由E2和l1的方程可知，若l1与E2有交点

则此交点的坐标为，且，即当时l1与E2有唯一交点

从上可知l1与E有三个不同的交点

∴直线l1斜率k的取值范围是。

解：（1）因为点M在x轴上，令y=0代入，解得x=-2，

所以M（-2，0），

所以抛物线C：的准线为x=-2=，

所以m=8

所以抛物线C的方程为。

（2）由消去x得

，

∴

∴，

∴AB的中垂线方程为

令y=0得

∵

∴。

（3）∵抛物线焦点F（2，0），准线x=-2

∴x=-2是Q的左准线

设Q的中心为O′（x，0），则短轴端点为（x，±y）

①若F为左焦点，则c=x-2＞0，b=|y|

∴a2=b2+c2=（x-2）2+y2

依左准线方程有，

∴

即y2=4（x-2） （x＞2） ；

②若F为右焦点，则0＜x＜2，故c=2-x，b=|y|

∴a2=b2+c2=（2-x）2+y2

依左准线方程有

即

化简得2x2-4x+y2=0

即（0＜x＜2，y≠0）。