- 抛物线的标准方程及图象
- 共391题
已知动圆S过点T（0，2）且被x轴截得的弦CD长为4。
（1）求动圆圆心S的轨迹E的方程；
（2）设P是直线l：y=x-2上任意一点，过P作轨迹E的切线PA，PB，A，B是切点，求证：直线AB恒过定点M；
（3）在（2）的条件下，过定点M作直线l：y=x-2的垂线，垂足为N，求证：MN是∠ANB的平分线。
正确答案
解：（1）设S（x，y），根据题意，
|ST|2=|SC|2=22+|y|2，
即
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）
所以
则PA：
设P（t，t-2），P在PA上
同理，P在PB上
故x1，x2是方程
的两根
故恒过点（2，2）。
（3）证明：过点M所作垂线l1的方程为y-2=-（x-2）
MN的斜率为-1，故倾斜角为
若AN，BN的斜率均存在，则设其分别为k1，k2，
对应的倾斜角分别为α，β，
要证MN是∠ANB的平分线，只要证∠ANM=∠BNM，
即
即要证k1k2=1
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y= k（x-2）+2代入x2=4y，
得x2-4kx+8k-8=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=8k-8
y1+y2=k（x1-2）+2+k（x2-2）+2 =4k2-4k+4，②
将②，③代入①，得
当
验证AN与BN的斜率一个不存在，一个为零，
即∠ANM=∠BNM，
即MN是∠ANB的平分线。
已知抛物线方程C：y2=2px（p＞0），点F为其焦点，点N（3，1）在抛物线C的内部，设点M是抛物线C上的任意一点，
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点F作直线l与抛物线C交于不同两点A、B，与y轴交于点P，且
正确答案
解：（1）准线方程为l：
由抛物线定义，
所以y2=4x。
（2）设
由题意知直线l的斜率k存在且不等于0，
设l：y=k（x-1），则P（0，-k），
由
∴
∵k≠0，∴
将y=k（x-1）代入y2=4x得
∴
∴
已知半圆x2+y2=4(y≥0)，动圆与此半圆相切且与x轴相切，
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹，并画出其轨迹图形；
(Ⅱ)是否存在斜率为
正确答案
解：(Ⅰ)设动圆圆心为M（x，y），作MN⊥x轴交x轴于N，
若两圆外切，|MO|=|MN|+2，
所以，
化简，得
若两圆内切，|MO|=2-|MN|，
所以，
化简得x2=-4(y-1)(y＞0)；
综上，动圆圆心的轨迹方程为x2=4(y+1)(y＞0)及x2=4(y+l) (y＞0)，
其图象是两条抛物线位于x轴上方的部分，作简图，如下图所示：
(Ⅱ)设直线l存在，其方程可设为
依题意，它与曲线x2=4(y+1)(y＞0)交于A，D，与曲线x2=-4（y -1）(y＞0)交于 B，C，
由
∴
即
解得：
把
因为曲线x2=4(y+l)中横坐标范围为(-∞，-2)∪(2，+∞)，所以这样的直线不存在。
已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1，0)，C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点。
(Ⅰ)写出抛物线C2的标准方程；
(Ⅱ)若
(Ⅲ)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值。
正确答案
解：(Ⅰ)由题意，抛物线C2的方程为：y2=4x。
(Ⅱ)设直线AB的方程为：y=k（x-4）(k存在且k≠0)，
联立
显然△=16+64k2＞0，
设A（x1，y1），B(x2，y2)，则
y1·y2=-16， ②
又
由①②③消去y1，y2，得k2=2，
故直线l的方程为y=
(Ⅲ)设P(m，n)，则OP中点为
因为O，P两点关于直线y=k(x-4)对称，
所以，
即
将其代入抛物线方程，得：
所以，k2=1，
联立
(b2+a2k2)x2-8k2a2x+16a2k2-a2b2=0，
由△=(-8k2a2)2-4(b2+a2k2)(16a2k2-a2b2)≥0，
得16a2k4-(b2+a2k2)(16k2-b2)≥0，
即a2k2+b2≥16k2，
将k2=1，b2=a2-1代人上式并化简，得 2a2≥17，所以
即2a≥
因此，椭圆C1长轴长的最小值为
在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，
（Ⅱ）证明：曲线C在点N处的切线与AB平行；
（Ⅲ）若曲线C上存在关于直线l对称的两点，求k的取值范围．
正确答案
（Ⅰ）解：由已知，动点P到定点F
由抛物线定义可知，动点P的轨迹为以
所以曲线C的方程为y=x2．
（Ⅱ）证明：设
由
所以
设
因为MN⊥x轴，所以N点的横坐标为
由y=x2，可得y′=2x，所以当x=
所以曲线C在点N处的切线斜率为k，与直线AB平行．
（Ⅲ）解：由已知，k≠0，设直线l的垂线为l′：
代入y=x2，可得
若存在两点
又
所以
由方程（*）有两个不等实根，
所以
所以
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