- 抛物线的标准方程及图象
- 共391题
如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．
正确答案
解：（1）设M（y02，y0），直线ME的斜率为k（k＞0），
则直线MF的斜率为﹣k
直线ME的方程为y﹣y0=k（x﹣y02），
由
消去x得ky﹣y+y0（1﹣ky0）=0，
解得yE=
同理可得yF=
∴kEF=
将坐标代入得kEF=﹣
所以直线EF的斜率为定值．
（2）当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1
∴直线ME的方程为：y﹣y0=x﹣y02，
由
同理可得F（（1+y0）2，﹣（1+y0）），
设重心为G（x，y），
则有
y2=
如图，圆C1：（x﹣a）2+y2=r2（r＞0）与抛物线C2：x2=2py（p＞0）的一个交点
M（2，1），且抛物线在点M处的切线过圆心C1．
（Ⅰ）求C1和C2的标准方程；
（Ⅱ）若点N为圆C1上的一动点，求
正确答案
解：（Ⅰ）由题意可得：把M（2，1）代入C2：x2=2py（p＞0），解得p=2，
所以C2：x2=4y
由
所以C2在点M处的切线方程为y﹣1=x﹣2，
令y=0有x=1．
因为抛物线在点M处的切线过圆心C1，所以圆心C1（1，0），
又因为M （2，1）在圆C1上所以（2﹣1）2+1=r2，
解得r2=2，
故C1：（x﹣1）2+y2=2
（Ⅱ）设N（x，y），则
所以
令x+y﹣1=t，代入（x﹣1）2+y2=2得（y﹣t）2+y2=2，
整理得2y2﹣2ty+t2﹣2=0
由△=4t2﹣8（t2﹣2）≥0得﹣2≤t≤2
所以
如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上，
（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率。
正确答案
解：（Ⅰ）由已知条件，可设抛物线的方程为
点P（1，2）在抛物线上，
∴
故所求抛物线的方程是
（Ⅱ）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，
则
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
∴
由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，
得
∴
∴
∴
由（1）-（2）得直线AB的斜率
已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为2
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若
正确答案
解：（1）直线AB的方程是
所以：
由抛物线定义得：
所以，抛物线的方程为：
（2）由p=4，
从而
从而A：(1，-2
设
又
即
设F（1，0），M点在x轴的负半轴上，点P在y轴上，且
（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）若A（4，0），是否存在垂直x轴的直线l被以AN为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。
正确答案
解：（1）
设N（x，y），由M点在x的负半轴上，则
又F（1，0），∴
又
∴
所以，点N的轨迹C的方程为
（2）设AN的中点为B，垂直于x轴的直线方程为x=a，
以AN为直径的圆交l于C，D两点，CD的中点为H，
∴
所以，令a=3，则对任意满足条件的x，
都有
即
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