热门试卷

解：（Ⅰ）由题意可知抛物线焦点在y轴正半轴，

设抛物线的标准方程为，

由准线方程是y=-1，可得p=2，

所以抛物线的标准方程为。

（Ⅱ）设直线的方程为：y=kx+1，

代入抛物线的标准方程，消y整理得，

设，，

则，                                         ①

因为，，代入①，

得，                              ②

因为，，代入②得k=1，

所以直线的方程为：y=x+1。

（Ⅲ）将直线方程与抛物线的标准方程联立得：，

消y整理得，

因为，，

∴。

（1）证明：由题意可知：动点M到定点F（1，0）的距离等于M到定直线x=-1的距离

根据抛物线的定义可知，M的轨迹是抛物线

所以抛物线方程为：y2=4x

（2）

（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），

lAB：y=kx+b，（b≠0）由消去y得：k2x2+（2bk-4）kx+b2=0，x1x2=．

∵OA⊥OB，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，y1y2=

所以x1x2+（x1x2）2=0，b≠0，∴b=-2k，∴直线AB过定点M（1，0），

（ii）设p（x0，y0）设AB的方程为y=mx+n，代入y2=2x

得y2-2my=-2n=0

∴y1+y2=2m，y1y2-2n其中y1，y2分别是A，B的纵坐标

∵AP⊥PB∴kmax•kmin=-1

即 •=1

∴（y1+y0）（y2+y0）=-4

•y1y2+（y1+y2）y0+y02-4=0

（-2n）+2my0+2x0+4=0，

=my0+x0+2

直线PQ的方程为x=my+my0+x0+2，

即x=m（y+y0）+x0+2，它一定过点（x0+2，-y0）

（1）因为焦点F（，0）在直线l上，

得p=m2

又m=2，故p=4

所以抛物线C的方程为y2=8x

（2）证明设A（x1，y1），B（x2，y2）

由消去x得

y2-2m3y-m4=0，

由于m≠0，故△=4m6+4m4＞0，

且有y1+y2=2m3，y1y2=-m4，

设M1，M2分别为线段AA1，BB1的中点，

由于2=，2=，

可知G（，），H（，），

所以==+，=，

所以GH的中点M(+，)．

设R是以线段GH为直径的圆的半径，

则R2=|GH|2=(m2+4)(m2+1)m2

设抛物线的标准线与x轴交点N(-，0)，

则|MN|2=(++)+()2

=m4（m4+8m2+4）

=m4[（m2+1）（m2+4）+3m2]

＞m2（m2+1）（m2+4）=R2．

故N在以线段GH为直径的圆外．

解：（1）由对称性知：是等腰直角三角形，斜边          

点到准线的距离         

圆的方程为；

（2）由对称性设，则      

点关于点对称得：    

得：，

直线   

  切点    

直线

坐标原点到距离的比值为。