热门试卷

（1）因M（x，y），N（-4，y），

满足⊥，所以-4x+y2=0，

即：y2=4x，即为动点M的轨迹C的方程．

（2）由题意得AB与x轴垂直，A（x1，y1），B（x2，y2），

由题设条件A、B两点在抛物线上．

y12=4x1，y22=4x2

两式相减得：y12-y22=4x1-4x2由中点坐标公式得y1+y2=-2，

∴k==-2，

所以直线方程为y=-2x+1．

（1）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，-2）．

∵OP⊥OQ，∴kOP•kOQ=-1．

当x≠0时，得•=-1，化简得x2=2y．（2分）

当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．

∴曲线C的方程为x2=2y（x≠0）．（4分）

（2）∵直线l2与曲线C相切，∴直线l2的斜率存在．

设直线l2的方程为y=kx+b，（5分）

由得x2-2kx-2b=0．

∵直线l2与曲线C相切，

∴△=4k2+8b=0，即b=-．（6分）

点（0，2）到直线l2的距离d==•（7分）=(+)（8分）≥×2（9分）=．（10分）

当且仅当=，即k=±时，等号成立．此时b=-1．（12分）

∴直线l2的方程为x-y-1=0或x+y+1=0．（14分）

（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），由题设知，|MB|=|MA|．

所以动点M的轨迹E是以A (  ， 0 )为焦点，

l：x=-为准线的抛物线，其方程为y2=2x；

（Ⅱ）设P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），且b＞c，

故直线PR的方程为（y0-b）x-x0y+x0b=0．

由题设知，圆心（1，0）到直线PR的距离为1，

即=1．

注意到x0＞2，化简上式，得（x0-2）b2+2y0b-x0=0，

同理可得（x0-2）c2+2y0c-x0=0．

由上可知，b，c为方程（x0-2）x2+2y0x-x0=0的两根，

根据求根公式，可得b-c==．

故△PRN的面积为

S=( b-c )x0==( x0-2 )++4≥2+4=8，

等号当且仅当x0=4时成立．此时点P的坐标为( 4 ， 2 )或( 4 ， -2 )．

综上所述，当点P的坐标为( 4 ， 2 )或( 4 ， -2 )时，△PRN的面积取最小值8．

（1）已知椭圆的长半轴为2，半焦距c=

由离心率等于e===

∴b2=1∴椭圆的上顶点（0，1）∴抛物线的焦点为（0，1）

∴抛物线的方程为x2=4y

（2）由已知，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y=k（x+1），E（x1，y1），F（x2，y2），

y=x2，∴y′=x，

∴切线l1，l2的斜率分别为x1，x2

当l1⊥l2时，x1•x2=-1，即x1•x2=-4

由得：x2-4kx-4k=0

∴△=（4k）2-4×（-4k）＞0解得k＜-1或k＞0①

∴x1•x2=-4k=-4，即：k=1

此时k=1满足①

∴直线l的方程为x-y+1=0