热门试卷

（1）设P（x，y），则=(2，0)，=(x-1，y)，=(x+1，y)．（2分）

由||•||=•，

得2=2(x+1)，（4分）

化简得y2=4x．

所以动点P的轨迹方程为y2=4x．（5分）

（2）由点A（t，4）在轨迹y2=4x上，则42=4t，解得t=4，即A（4，4）．（6分）

当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时直线AK与圆x2+（y-2）2=4相离．（7分）

当m≠4时，直线AK的方程为y=(x-m)，即4x+（m-4）y-4m=0，（8分）

圆心（0，2）到直线AK的距离d=，

令d=＜2，解得m＜1；

令d==2，解得m=1；

令d=＞2，解得m＞1．

综上所述，当m＜1时，直线AK与圆x2+（y-2）2=4相交；

当m=1时，直线AK与圆x2+（y-2）2=4相切；

当m＞1时，直线AK与圆x2+（y-2）2=4相离．（14分）

（1）抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），

设抛物线解析式为y2=2px，把（4，4）代入，得，16=2×4p，∴p=2

∴抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为F（1，0）

（2）设M（x，y），P（x0，y0），F（1，0），M是PF的中点

则x0+1=2x，0+y0=2 y            

∴x0=2x-1，y0=2 y

∵P是抛物线上一动点，∴y02=4x0

∴（2y）2=4（2x-1），化简得，y2=2x-1．

∴M的轨迹方程为 y2=2x-1．

（Ⅰ）由条件可知，点P到点F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，

所以点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，x=-1为准线的抛物线，其方程为y2=4x．…（4分）

（Ⅱ）解法一：假设△ABC是直角三角形，不失一般性，设∠A=90°，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），

则由•=0，=(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x1，y3-y1)，

可得（x2-x1）（x3-x1）+（y2-y1）（y3-y1）=0．…（6分）

因为xi=（i=1，2，3），y1≠y2，y1≠y3，

所以（y1+y2）（y1+y3）+16=0．…（8分）

又因为++=，所以x1+x2+x3=3，y1+y2+y3=0，

所以y2y3=-16．   ①

又y12+y22+y32=4(x1+x2+x3)=12，

所以(-y2-y3)2+y22+y32=12，即y22+y32+y2y3=6．  ②…（10分）

由①，②得y22+(-)2-16=6，所以y24-22y22+256=0． ③

因为△=（-22）2-4×256=-540＜0．

所以方程③无解，从而△ABC不可能是直角三角形．…（12分）

解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由++=，

得x1+x2+x3=3，y1+y2+y3=0．…（6分）

由条件的对称性，欲证△ABC不是直角三角形，只需证明∠A≠90°．

（1）当AB⊥x轴时，x1=x2，y1=-y2，从而x3=3-2x1，y3=0，即点C的坐标为（3-2x1，0）．

由于点C在y2=4x上，所以3-2x1=0，即x1=，

此时A(，)，B(，-)，C（0，0），则∠A≠90°．…（8分）

（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：x=ty+m（t≠0），代入y2=4x，

整理得：y2-4ty-4m=0，则y1+y2=4t．

若∠A=90°，则直线AC的斜率为-t，同理可得：y1+y3=-．

由y1+y2+y3=0，得y1=4t-，y2=，y3=-4t．

由x1+x2+x3=3，可得y12+y22+y32=4(x1+x2+x3)=12．

从而(4t-)2+()2+（-4t）2=12，

整理得：t2+=，即8t4-11t2+8=0，①

△=（-11）2-4×8×8=-135＜0，所以方程①无解，从而∠A≠90°．…（11分）

综合（1），（2），△ABC不可能是直角三角形．…（12分）

（1）在椭圆中，c=1，e=，所以a=2，b==，故椭圆方程为+=1…（2分）

抛物线中，=1，所以p=2，故抛物线方程为y2=4x…（4分）

（2）设直线l的方程为y=k（x+1）和抛物线方程联立，得

消去y，整理得k2x2+（2k2-4）x+k2=0，

因为直线和抛物线有两个交点，所以k≠0，（2k2-4）2-4k4＞0．

解得-1＜k＜1且k≠0…（6分）

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=1…（8分）

又=λ，所以

又y2=4x，由此得4x1=λ24x2，即x1=λ2x2．

由x1x2=1，解得x1=λ，x2=…（10分）

又x1+x2==-2，所以λ+=-2．

又因为0＜k2＜1，所以λ+=-2＞2，

解得λ＞0且λ≠1…（14分）