热门试卷

由题意，设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），则

将M(，-)代入方程可得=2p×，∴p=2，

∴抛物线的方程为y2=4x

∵椭圆的离心率是抛物线离心率的一半，

∴e==

∵+=1，a2=b2+c2

∴a=2，b=

∴椭圆方程为：+=1

（1）∵抛物线y2=2px经过点M（2，-2），

∴8=4p，∴p=2

∴抛物线的方程为y2=4x，其焦点为F（1，0），∴c=1

∵椭圆的离心率为，

∴a=2

∴b2=a2-c2=3

∴椭圆的方程为+=1；

（2）设Q（x，y），x∈[-2，2]，设P（x，y0），则+=1

∴y02=3-x2

∵=λ（λ≠0），

∴=λ2

∴(λ2-)x2+λ2y2=3，x∈[-2，2]，

①λ2=，即λ=时，点Q的轨迹方程为y=±2，x∈[-2，2]，轨迹是两条平行于x轴的线段；

②λ2＜，即0＜λ＜时，轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x∈[-2，2]的部分；

③λ2＞，即λ＞时，轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x∈[-2，2]的部分．

（1）∵椭圆中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为12，

∴设椭圆方程为+=1，（a＞b＞0）

∵离心率为e=，b=6，

∴=，解之得a=10，

从而得到椭圆方程为+=1；

（2）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），

∵抛物线与双曲线的交点为(，)，

∴6=2p×，可得p=2，

可得抛物线方程为y2=4x，准线方程为x=-1

∵双曲线-=1的一个焦点在抛物线的准线上，∴c=1

又∵(，)是双曲线-=1上的点

∴-=1，

联解①②，可得a2=，b2=，得到双曲线的方程为-=1

∴抛物线的方程为y2=4x，双曲线的方程为-=1．

（1）圆x2+y2-2y-3=0化为标准方程：x2+（y-1）2=4

∴圆的圆心P（0，1）…（1分），

设抛物线C：x2=2py…（2分），

∵抛物线C以圆心P为焦点，

∴=1…（3分），

∴p=2

∴所求抛物线的方程为x2=4y…（4分）．

（2）由方程组可得y=1…（5分），

依题意，圆P与抛物线C在第一象限的交点为A，∴A（2，1）…（6分），

抛物线C即函数y=x2的图象，当x=2时，切线的斜率k=y′=x=1…（8分），

∴切线为y-1=1×（x-2），即x-y-1=0…（9分），

∴x=0时，y=-1，所以Q（0，-1）…（10分）．

∵动点M到P、Q两点距离之和等于6

∴M的轨迹是焦点在y轴的椭圆，

设它的方程为+=1(a＞b＞0)…（12分），

则2a=|MP|+|MQ|=6，2c=|PQ|=2…（13分），

∴a=3，b2=a2-c2=8，

∴M的轨迹方程为+=1…（14分）．