热门试卷

解：（1）依题意，可设抛物线C的方程为：y2=2px（p>0）

∵抛物线C过点（1，2），

∴22=2p，解得p=2

∴抛物线C的方程为：y2=4x。

（2）关于抛物线C的类似命题为：过抛物线y2=4x的焦点F（1，0）作与x轴不垂直的任意直线l交抛物线于A，B两点，线段A的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值是2。

证明如下： 设直线AB的方程为x=ty+1（t≠0），代入y2=4x，消去x，得y2-4ty-4=0

因为Δ=16t2+16>0，可设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1+y2=4t，y1y2=-4，x1+x2=t（y1+y2）+2=4t2+2，

所以线段AB中点P的坐标为（2t2+1，2t），

AB的垂直平分线MP的方程为y-2t= -t（x-2t2-1），

令y=0，解得x=2t2+3，即M（2t2+3，0），

所以|FM|=2t2+2

由抛物线定义可知|AB|=x1+x2+2=4t2+4，

所以。

（3）过抛物线的焦点F作与对称轴不垂直的任意直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于点M，则为定值，且定值是2。

解：（I）设曲线C1的方程为 ，

则2a=|AF1|+|AF2|= 得a=3

设A（x，y），F1（﹣c，0），F2（c，0），

则（x+c）2+y2= ，（x﹣c）2+y2= 

两式相减可得：xc= 

由抛物线定义可知|AF2|=x+c=  ∴c=1，x= 或x=1，c= （舍去）

所以曲线C1的方程为 ，C2的方程为y2=4x（0≤x≤ ）；

（II）过点F1作直线l垂直于x轴，过点C作直线CC1⊥l于点C1，

依题意知l为抛物线C2的准线，则|CC1|=|CF2|

在直角△CC1F1中，|CF1|= |CC1|，∠C1CF1=45°

∵∠CF1F2=∠C1CF1=45°

在△CF1F2中，设|CF2|=r，则|CF1|= r，|F1F2|=2

由余弦定理可得22+2r2﹣2×2× rcos45°=r2， ∴r=2

∴S△CF1F2=