热门试卷

解：（Ⅰ）∵，

∴，

∴抛物线C的准线方程为：，    

∴，解得，

∴抛物线C的方程是。            

（Ⅱ）F（0，1），

设A，B，

由，得，

∴，，  

，       

∴，

∴直线，

令对任意的k（k≠0）恒成立， 

则，解得，

所以，m=0，直线l过定点（0，-1）。

解：（1）由题意可设所求直线l的方程为y=kx-2，所求抛物线的方程为，由，消去y得：，

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

∴

∵，

∴，

解得，

故直线l的方程为y=2x-2，

抛物线的方程为x2=-2y；

（2）据题意，当抛物线过点P的切线m与直线l平行时，△ABP的面积最大，

此时切线m的方程为y=2x+b，由消去y，整理得：，

∵，

∴b=2，

m的方程为y=2x+2，即y=2x+2，

此时点P到直线l的距离为，

由消去y得：

故，

所以△ABP的最大面积为=；

（3）在抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点，

假设在抛物线C存在相异两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线l对称，

则直线AB的方程为

由，消去y得：，，

于是可得AB的中点M的坐标为（），又点M在直线l上，所以，即，AB的方程为，而此时△=7>0，即直线AB与抛物线C有两个相异公共点，

综上所述，在抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点。

   （I）解：设动点P（x，y），动点P到点F（2，0）的距离比它到直线x=﹣1的距离多1，

即动点P到点F（2，0）的距离等于它到直线x=﹣2的距离

∴两边平方（x﹣2）2+y2=（x+2）2化简可得：y2=8x

（II）证明：如图，作AC⊥l，BD⊥l，

设A，B的横坐标分别为xA，xB则=|FA|cosα+4，解得

同理|FB|=4﹣|FB|cosα，解得

记m与AB的交点为E，

则|FE|=|FA|﹣|AE|===

∴

故

即FP|﹣|FP|cos2α为定值，定值为8．

解：（1）∵点M到点F（1，0）的距离比它到直线l：y=﹣2的距离小于1，

∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线l'：y=﹣1的距离相等，

∴点M的轨迹C是以F'为焦点，l'为准线的抛物线，

所以曲线C的方程为=4y．

（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，

设直线m的方程为y﹣2=k（x﹣2），即y=kx+（2﹣2k），

代入=4y得﹣4kx+8（k﹣1）=0（*）

△=16（k2﹣2k+2）＞0对k∈R恒成立，

∴直线m与曲线C恒有两个不同的交点

设交点A，B的坐标分别为A（，y1），B（x2，y2），

则+x2=4k，x2=8（k﹣1），

∵|AB|===

点O到直线m的距离d=，

∴=，

∴（k﹣1）4+（k﹣1）2﹣2=0，

∴（k﹣1）2=1或（k﹣1）2=﹣2（舍），

∴k=0或k=2．

当k=0方程（*）的解为x=

若，，则，

若，则，

当k=2，方程（*）的解为

若，则

若，则

所以，．