- 抛物线的标准方程及图象
- 共391题
如图，以原点O为顶点，以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F(0，1)，点M是直线l：y=m(m＜0)上任意一点，过点M引抛物线E的两条切线分别交x轴于点S，T，切点分别为B，A．
(Ⅰ)求抛物线E的方程；
(Ⅱ)求证：点S，T在以FM为直径的圆上；
(Ⅲ)当点M在直线l上移动时，直线AB恒过焦点F，求m的值．
正确答案
解：(Ⅰ)设抛物线E的方程为
所以抛物线E的方程为
(Ⅱ)设点
∵
∴切线AM的斜率
令y=0，得
∴直线FT的斜率
∵
∴AM⊥FT，即点T在以FM为直径的圆上；同理可证点S在以FM为直径的圆上，
所以S，T在以FM为直径的圆上。
(Ⅲ)抛物线x2=4y焦点F(0，1)，
可设直线AB：y=kx+1，
由
由(Ⅱ)切线AM的方程为
得
同理
消去x0，得
∵
∴
设直线
（I）若t=0，且三角形ABD的面积为4，求抛物线的方程；
（II）当△ABD为正三角形时，求出点D的坐标。
正确答案
解：（I）直线
不妨设
又D点到直线l的距离d=p 所以
∴抛物线的方程为
（II）设
由
从而
∴线段AB的中点为
解得
由
解
此时，点
如图，等边三角形OAB的边长为
（1）求抛物线E的方程；
（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。
正确答案
解：（1）依题意，|OB|=8
则x=|OB|sin30°=4
∵B（4
∴
∴p=2，
∴抛物线E的方程为x2=4y；
（2）由（1）知，
设P（x0，y0），
则x0≠0．l：
即
由
∴
取x0=2，此时P（2，1），Q（0，-1），
以PQ为直径的圆为（x-1）2+y2=2，交y轴于点M1（0，1）或M2（0，-1）
取x0=1，此时P（1，
交y轴于点M3（0，1）或M4（0，-
若满足条件的点M存在，只能是M（0，1），
证明如下：∵
∴
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，1）。
已知直线x+y=1过抛物线y2=2px的焦点F．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点T（﹣1，0）作直线l与轨迹C交于A，B两点若在x轴上存在一点E（x0，0），使得△ABE是等边三角形，求x0的值．
正确答案
解：（1）直线x+y=1与x轴交于（1，0）
∵直线x+y=1过抛物线y2=2px的焦点F
∴抛物线的焦点为F（1，0），故p=2
∴抛物线C的方程为y2=4x．
（2）设直线l：y=k（x+1）（k≠0）
代入y2=4x（x＞0），
消元可得k2x2+2（k2﹣2）x+k2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
∴AB的中点为
∴线段AB的垂直平分线方程为
令y=0，得
∵△ABE是等边三角形，
∴点E到直线l的距离为
∵点E到直线l的距离为
∴
∴
∴
已知抛物线y2=2px（p>0），点P
（I）求抛物线的方程；
（II）直线MN是否经过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，试说明理由。
正确答案
解：（Ⅰ）由P（
∴kOP=
∴OP的垂直平分线所在直线方程y
令y=0，解得：x=1，
故得：p=2，
∴抛物线方程为：y2=4x。
（Ⅱ）假设直线MN过定点，
设A（xA，yA），B (xB，yB)，M(xM，yM)，
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k(x-1)，
联立
由韦达定理，得xA+xB=2+
所以，xM=1+
所以，点M的坐标是（1+
当k≠±1时，
直线MN的斜率为：
直线方程为
整理得：y(1-k2)=k(x-3)，
∴直线恒经过定点（3，0），
当k=±1时，直线MN方程为x=3，经过（3，0），
综上，不论k为何值，直线MN恒过定点（3，0）。
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