- 抛物线的标准方程及图象
- 共391题
已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=﹣2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点P（2，2）的直线m与曲线C交于A、B两点，设
正确答案
解：（1）∵点M到点F（1，0）的距离比它到直线l：y=﹣2的距离小于1，
∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线l'：y=﹣1的距离相等，
∴点M的轨迹C是以F'为焦点，l'为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为x2=4y．
（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线m的方程为y﹣2=k（x﹣2），即y=kx+（2﹣2k），
代入x2=4y得x2﹣4kx+8（k﹣1）=0（*）
△=16（k2﹣2k+2）＞0对k∈R恒成立，
∴直线m与曲线C恒有两个不同的交点
设交点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=4k，x1x2=8（k﹣1），
∵|AB|=
点O到直线m的距离d=
∴
∴（k﹣1）4+（k﹣1）2﹣2=0，
∴（k﹣1）2=1或（k﹣1）2=﹣2（舍），
∴k=0或k=2．
当k=0方程（*）的解为x=
若
若
当k=2，方程（*）的解为
若
若
所以，
已知动圆过定点F（0，2），且与定直线L：y=-2相切。
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F（0，2），分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ。
正确答案
（1）解：依题意，圆心的轨迹是以F（0，2）为焦点，L：y=-2为准线的抛物线上，
因为抛物线焦点到准线距离等于4，
所以圆心的轨迹是
（2）证明：∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+2，
由
∴
抛物线的方程为
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是
∴
所以，AQ⊥BQ。
已知抛物线和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点
（1）求这两条曲线的方程；
（2）直线l过轴上定点N（异于原点），与抛物线交于A、B两点且以AB为直径的圆过原点，试求出定点N的坐标。
正确答案
解：（1）设抛物线方程为
将
∴抛物线方程为
由题意知双曲线的焦点为
∴
对于双曲线，
∴
∴双曲线方程为
（2）设l方程为
联立
设
则
∴
∵以AB为直径的圆过原点
∴
∴
∴
∴N的坐标为（4，0）。
已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=﹣2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点P（2，2）的直线与曲线C交于A、B两点，设
正确答案
解：（1）∵点M到点F（1，0）的距离比它到直线l：y=﹣2的距离小于1，
∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线l′：y=﹣1的距离相等，
∴点M的轨迹C是以F为焦点，l′为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为x2=4y．
（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线m的方程为y﹣2=k（x﹣2），即y=kx+（2﹣2k），
代入x2=4y，得x2﹣4kx+8（k﹣1）=0，（*）
△=16（k2﹣2k+2）＞0对k∈R恒成立，
所以，直线m与曲线C恒有两个不同的交点，
设交点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=4k，x1x2=8（k﹣1），
∵|AB|=
=4
点O到直线m的距离
∴
∵
∴4
∴（k﹣1）4+（k﹣1）2﹣2=0，
∴（k﹣1）2=1，或（k﹣1）2=﹣2（舍去），
∴k=0，或k=2．
当k=0时，方程（*）的解为
若
若
当k=2时，方程（*）的解为4
若
若
所以，
抛物线的顶点在原点，焦点在射线x﹣y+1=0（x≥0）上
（1）求抛物线的标准方程
（2）过（1）中抛物线的焦点F作动弦AB，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求出
正确答案
解：（1）∵是标准方程，
∴其焦点应该在坐标轴上，
∴令x=0，代入射线x﹣y+1=0，解得其焦点坐标为（0，1）
当焦点为（0，1）时，可知P=2，
∴其方程为x2=4y．
（2）设
过抛物线A，B两点的切线方程分别是
其交点坐标
设AB的直线方程y=kx+1代入x2=4y，得x2﹣4kx﹣4=0
∴
∵
∴
而
∴
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