抛物线的标准方程及图象
共391题

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抛物线的标准方程及图象
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题型：简答题

简答题

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率e=，且经过抛物线x2=4y的焦点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过点B（0，-2）的直线l（斜率不等于零）与椭圆交于不同的两点E，F（E在B，F之间），△OBE与△OBF面积之比为λ，求λ的取值范围．

正确答案

（1）由已知得F（0，1），设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），则b=1

∵椭圆的离心率为e=，∴=，

∵a2=b2+c2，∴a2=2，c=1

∴椭圆方程为+y2=1；

（2）由题意知l的斜率存在且不为零，设l方程为y=mx-2（m≠0）①，代入+y2=1，

整理得（2m2+1）x2-8mx+6=0，由△＞0得m2＞．

设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1+x2=，x1x2= ②

∵△OBE与△OBF面积之比为λ

∴=λ，∴=λ

∴x2=λx1．

代入②得，消去x1得=×，

∵m2＞．

∴0＜＜

∴4＜＜

∴＜λ＜3且λ≠1

题型：简答题

简答题

已知椭圆+=1(a＞1)的左右焦点为F1，F2，抛物线C：y2=2px以F2为焦点且与椭圆相交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），直线F1M与抛物线C相切．

（Ⅰ）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；

（Ⅱ）若M、N两点恒在该椭圆内部，求椭圆离心率的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）由椭圆方程得半焦距c==1（1分）

所以椭圆焦点为F1（-1，0）F2（1，0）（2分）

又抛物线C的焦点为(，0)∴=1，p=2，∴C：y2=4x（3分）

∵M（x1，y1）在抛物线C上，

∴y12=4x1，直线F1M的方程为y=(x+1)（4分）

代入抛物线C得y12（x+1）2=4x（x1+1）2，即4x1（x+1）2=4x（x1+1）2∴x1x2-（x12+1）x+x1=0，（5分）

∵F1M与抛物线C相切，∴△=（x12+1）2-4x12=0，（6分）∴x1=1，∴M、N的坐标分别为（1，2）、（1，-2）．（7分）

（Ⅱ）∵M、N两点在椭圆内部，∴|F1M|+|F2M|＜2a（9分）

即+2＜2a，∴a＞+1，（11分）

∴＜=-1，（12分）

∵c=1，∴离心率e=＜-1，（13分）

又e＞0，∴椭圆离心率的取值范围为(0，-1)（14分）

题型：简答题

简答题

（1）试讨论方程（1-k）x2+（3-k2）y2=4（k∈R）所表示的曲线；

（2）试给出方程+=1表示双曲线的充要条件．

正确答案

（1）当3-k2＞1-k＞0，即 k∈（-1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆；

1-k＞3-k2＞0，即 k∈（-，-1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；

1-k=3-k2＞0，即 k=-1时，表示的是一个圆；

（1-k）（3-k2）＜0⇒k∈（-∞，-）∪（1，），表示的是双曲线；

k=1，k=-，表示的是两条平行直线； k=，表示的图形不存在．

（2）由（k2+k-6）（6k2-k-1）＜0得（k+3）（k-2）（3k+1）（2k-1）＜0，

即 k∈（-3，-）∪（，2）．

题型：填空题

填空题

以椭圆+=1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点，则|AB|的值为 ______．

正确答案

依题意可知抛物线的中心为（0，0），左准线为x=-，

∴抛物线方程为y2=x．

又∵椭圆右准线方程为x=，

联立解得A（，）、B（，-）．

∴|AB|=|+|=．

故答案为：

题型：简答题

简答题

已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线-=1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为(，)．

（1）求抛物线的方程；

（2）求双曲线的方程．

正确答案

（1）由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，

∴p=2c．设抛物线方程为y2=4c•x，

∵抛物线过点(，)，∴6=4c•．

∴c=1，

故抛物线方程为y2=4x．

（2）由（1）得p=2，…（5分）

所以，所求双曲线的一个焦点为（1，0），c=1…（9分）

设所求双曲线方程为-=1，

代入点(，)，得a2=…（12分）

故双曲线的方程为：4x2-=1．

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